GEOMETRISCHE AUFGABEN.
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aus —4-6[2] + 4-a[3] und %B[2] — -fA[3] folgt, wenn man zur Abkürzung
aB — hA — X, ab[A-\-B) =f, %AB{A-\-B)-\-\n — g
AB[a + h) = F, iaBB+ibAA = G
schreibt
[4]
[»]
— & + (/+#)#—
1 — XX
Die Gleichung [1] in der Form [t—Tx) z -\- T T{ 1 — ocoo] — rr gibt
\\rr — [g—FV) 2 = XXTT(1— xx) [6]
Substituirt man darin den Werth von X T aus [5], so erhält man die cubische
Gleichung
2fFx 3 — (//-[- 2fg -f- FF -f- 2 F G -\-\\rr)oox
-^{ i lfG-\- e lgF-[-^gG)x-\-\\rr— gg— GG = 0 . . [7]
Nachdem dadurch x bestimmt ist, findet man die Coordinaten des Punk
tes (2) aus obigen Ausdrücken, die, wenn man darin für t—Tx und T die
vorhin gegebenen Werthe substituirt, folgende Gestalt annehmen
— G + (f + ff) x — Fx x
\ \j (l — x x)
und die beiden anderen Punkte (l) und (3), indem man zu diesen Werthen
— Ax, —A\J(l—xx) und —J— Bx, -{-B\J{1 — xx) beziehungsweise hinzufügt.
Da jedem Cosinus zwei Werthe des Winkels angehören, oder was dasselbe
ist, da die Radical-Grösse \/(l — xx) sowol positiv wie negativ genommen wer
den kann, so gibt jede zulässige Wurzel der Gleichung zwei Auflösungen; nem-
lich zwei gegen die Linie (II) symmetrische Lagen der Punkte (1), (2), (3), was
auch schon für sich klar ist. Für den Fall, dass -f-1 oder —1 eine Wurzel
der Gleichung [7] wird, ist übrigens die obige Formel für die Ordinate nicht
brauchbar, weil dann Zähler und Nenner null werden, und man muss anstatt
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IV.