GEOMETRISCHE AUFGABEN. 
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sich ergebenden Werthe alle dieselben Zeichen haben, wie respective die Sinus 
von h, ff, ff'. 
Mit Stillschweigen darf ich auch nicht übergehen, dass die gegebene all 
gemeine Auflösung der Aufgabe in singulären Fällen entweder ihre Anwendbar 
keit ganz verliert, oder doch einiger Modification bedarf, beschränke ¡mich hier 
aber nur auf eine Andeutung der erheblichsten Punkte: 
I. Ist einer der beobachteten Winkel gleich = 0 oder = 180°, so ist 
vorteilhaft, den betreffenden Beobachtungsplatz, auch wenn er zwischen den 
beiden andern liegen sollte, als (l) oder (3) anzunehmen. Wählet man das 
Letztere, so bleiben alle Theile der allgemeinen Auflösung gültig, indem man nur 
h als unendlich gross betrachtet, und als Zeichen in den Rechnungen beibehält, 
welches hernach in allen Resultaten aber von selbst wegfällt. An mehr als Ei 
nem Punkte darf aber offenbar der Winkel nicht 0 oder 180° sein, weil dies 
nur stattfindet, wenn alle drei in der Linie (4), (5) liegen, wo die Aufgabe un 
bestimmt wäre. 
II. Sind unter den beobachteten Winkeln zwei gleiche, so fallen von 
den Punkten (1*), (2*), (3*) zwei zusammen, oder eine der Grössen a, b, a-\-b 
wird = 0, daher auch fF = 0; in diesem Falle geht demnach die cubische 
Gleichung in eine quadratische über. Übrigens sieht man leicht, dass das Ver 
schwinden des ersten Coefficienten der cubischen Gleichung nur in dem Falle der 
Gleichheit zweier Winkel ein tritt. 
III. Die gegebene Auflösung ist nicht anzuwenden, wenn die Grössen 
A, B den a, h proportional sind, also X = 0 wird. In diesem Falle ist die 
cubische Gleichung mit Unrecht herangezogen und enthält eine der Sache fremde 
Wurzel, die richtige aber zweimal. Es ist nemlich klar , dass dann die beiden 
Combinationen, durch welche aus [2] und [3] die Gleichungen [4] und [5] ab 
geleitetwurden, nicht verschieden sind; diese Gleichungen werden daher iden 
tisch, und jede für sich gibt x = ~ a = Offenbar muss dann aber eine der 
beiden Gleichungen [2], [3] noch ferner gebraucht werden, aus deren Combina- 
tion mit [1] sich leicht ergibt: cx = [t— n) \/(l—xx). Es erhellt daraus, dass 
die Linie (I) entweder durch den Punkt (4) oder durch (5) geht, und es gibt 
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