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ALLGEMEINE LEHRSÄTZE IN BEZIEHUNG AUF DIE 
lyse, durch welche einige Geometer auf der Oberfläche der Kugel den Werth 
— 2Tzk, oder den Mittelwerth zwischen den innen und aussen geltenden, her 
ausgebracht haben, kann ich, insofern der Begriff von Differentialquotienten in 
seiner mathematischen Reinheit aufgefasst wird, eine Zulässigkeit nicht einräumen. 
* 9. 
Das im vorhergehenden Beispiel gefundene Resultat ist nur ein einzelner 
Fall des allgemeinen Theorems, nach welchem, wenn der Punkt O sich im In 
nern der wirkenden Masse befindet, der Werth von + äqual wird 
dem Producte aus — 4 tc in die in O Statt findende Dichtigkeit. Die befriedi 
gendste Art, diesen wichtigen Lehrsatz zu begründen, scheint folgende zu sein. 
Wir nehmen an, dass die Dichtigkeit k sich innerhalb t nirgends sprungs 
weise ändere, oder dass sie eine mit f{a, h, c) zu bezeichnende Function von 
a, b, c sei, deren Werth sich innerhalb t überall nach der Stetigkeit ändert, 
ausserhalb t hingegen = 0 wird. 
Es sei t' der Raum, in welchen t übergeht, wenn die erste Coordinate je 
des Punktes der Grenzfläche um die Grösse e vermindert, oder was dasselbe ist, 
wenn die Grenzfläche parallel mit der ersten Coordinatenaxe um e rückwärts be 
wegt wird; es bestehe t aus den Räumen t° und 6, t' aus t° und 6', so dass t° 
der ganze Raum ist, welcher t und t' gemeinschaftlich bleibt. Wir betrachten 
die drei Integrale 
r /(«, h,c)(a — x)6.t 
J ((a — x) 2 + (i — y) 2 4- (c — z) 2 )l 
r f[a,b,c){a — x — e)d t 
((a—x— e)* + (& — yf + (c — s)*)l 
/ f[a + e, h, c) (a — x) d t 
((a-^) s + (6-y) 2 + (c- S )*)f 
wo das Integral (1), über den ganzen Raum t ausgedehnt, der Werth von ^ oder 
X in dem Punkte O sein wird. Das Integral (2), gleichfalls über ganz t ausge 
dehnt, wird der Werth von ~ in demjenigen Punkte sein, dessen Coordinaten 
y, z sind, welchen Werth wir mit X-}-£ bezeichnen wollen. Offenbar 
ist mit diesem Integrale ganz identisch das Integral (3), über den ganzen Raum t' 
ausgedehnt. Ist also 
(1) 
(2) 
(3)