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ALLGEMEINE LEHRSÄTZE IN BEZIEHUNG AUF DIE
beziehen, indem man die Entfernung derselben von einander unendlich abneh
men lässt, zu welchem Zweck man nur diese beiden Flächen gleich und parallel
anzunehmen braucht. Unmittelbar einleuchtend ist zwar diese Beweisart nur in
sofern, als die vorgegebene Fläche so beschaffen ist, dass die Normalen in allen
ihren Punkten mit Einer geraden Linie spitze Winkel machen. Eine Fläche, wo
diese Bedingung fehlt (wie allemal, wenn von einer geschlossenen Fläche die Bede
ist), wird zuvor in zwei oder mehrere Theile zu zerlegen sein, die einzeln jener
Bedingung Genüge leisten, wodurch es leicht wird, diesen Fall auf den vorigen
zurückzuführen.
20.
Wenden wir das Theorem des vorhergehenden Artikels auf den Fall an, wo
das zweite Massensystem mit gleichförmiger Dichtigkeit k == 1 auf eine Kugel-
fläche vertheilt ist, deren Halbmesser = R, so ist das daraus entspringende Po
tential v im Innern der Kugel constant = 4 tc ; in jedem Punkte ausserhalb
der Kugel, dessen Entfernung vom Mittelpunkte == r, wird v = oder
eben so gross, wie im Mittelpunkte das Potential von einer in jenem Punkte an
genommenen Masse 4 tu RR -, auf der Oberfläche der Kugel fallen beide Werthe
von v zusammen. Befindet sich also das erste Massensystem ganz im Innern der
Kugel, so wird ^Mv äqual dem Producte der Gesammtmasse dieses Systems
in 4tuJR; ist aber jenes Massensystem ganz ausserhalb der Kugel, so wird 'LMv
äqual dem Producte des Potentials dieser Masse im Mittelpunkte der Kugel in
4 tu RR: ist endlich das erste Massensystem auf der Oberfläche der Kugel nach
der Stetigkeit vertheilt, so sind für j KvdS beide Ausdrücke gleichgültig. Es
folgt hieraus der
Lehrsatz. Bedeutet V das Potential einer wie immer vertheilten Masse in
dem Elemente einer mit dem Halbmesser JR, beschriebenen Kugelfläche ds, so
wird, durch die ganze Kugelfläche integrirt,
fV ds = 4k{RM°+RRV°]
wenn man mit M° die ganze im Innern der Kugel befindliche Masse, mit V°
das Potential der ausserhalb befindlichen Masse im Mittelpunkt der Kugel be
zeichnet, und dabei die Massen, die etwa auf der Oberfläche der Kugel stetig ver
theilt sein mögen, nach Belieben den äussern oder innern Massen zuordnet.