IM VERKEHRTEN VERHÄLTNISSE DES QUADRATS DER ENTFERNUNG ETC.
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21.
Lehrsatz. Das Potential V von Massen, die sämmtlich ausserhalb ei
nes zusammenhängenden Raumes liegen, kann nicht in einem Theile dieses Rau
mes einen constanten Werth und zugleich in einem andern Theile desselben einen
verschiedenen Werth haben.
Beweis. Nehmen wir an, es sei in jedem Punkte des Raums A das Po
tential constant =a, und in jedem Punkteeines andern an A grenzenden keine
Masse enthaltenden Raumes B (algebraisch) grösser als a. Man construire eine
Kugel, wovon ein Theil in B, der übrige Theil aber nebst dem Mittelpunkte
in A enthalten ist, welche Construction allemal möglich sein wird. Ist nun R
der Halbmesser dieser Kugel, und di ein unbestimmtes Element ihrer Ober
fläche , so ist nach dem Lehrsätze des vorigen Artikels JVds — 4tiRRa, und
J\V—«)di = 0, was unmöglich ist, da für den Theil der Oberfläche, welcher in
A liegt, V—a = 0, und für den übrigen Theil der Voraussetzung zu Folge
nicht = 0 , sondern positiv ist.
Auf ganz ähnliche Weise erhellt die Unmöglichkeit, dass in allen Punk
ten eines an A grenzenden Raumes V kleiner sei als a.
Offenbar müsste aber wenigstens einer dieser beiden Fälle Statt finden, wenn
unser Theorem falsch wäre.
Dieser Lehrsatz enthält folgende zwei Sätze:
I. Wenn der die Massen enthaltende Raum schalenförmig einen massen
leeren Raum umschliesst, und das Potential in einem Theile dieses Raumes einen
constanten Werth hat, so gilt dieser für alle Punkte des ganzen eingeschlossenen
Raumes.
II. Wenn das Potential der in einen endlichen Raum eingeschlossenen
Massen in irgend einem Theile des äussern Raumes einen constanten Werth hat,
so gilt dieser für den ganzen unendlichen äussern Raum.
Zugleich erhellt leicht, dass in diesem zweiten Fall der constante Werth
des Potentials kein anderer als 0 sein kann. Denn wenn man mit M das Aggre
gat aller Massen, falls sie sämmtlich einerlei Zeichen haben, oder im entgegenge
setzten Fall das Aggregat der positiven oder der negativen Massen allein, je nach
dem jene oder diese überwiegen, bezeichnet, so ist das Potential in einem Punkte,
dessen Entfernung von dem nächsten Massenelemente = r ist, jedenfalls, abso-