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ALLGEMEINE LEHRSÄTZE IN BEZIEHUNG AUF DIE 
lut genommen, kleiner als welcher Bruch offenbar im äussern Raume kleiner 
als jede angebliche Grösse werden kann. 
22. 
Lehrsatz. Ist di das Element einer einen zusammenhängenden endlichen 
Raum begrenzenden Fläche, P die Kraft, welche irgendwie vertheilte Massen in 
ds in der auf die Fläche normalen Richtung ausüben, wobei eine nach innen 
oder nach aussen gerichtete Kraft als positiv betrachtet wird, je nachdem anzie 
hende oder ahstossende Massen als positiv gelten; so wird das Integral fPds 
über die ganze Fläche ausgedehnt — 2 wenn M das Aggregat der 
im Innern des Raumes befindlichen, M' das der auf der Oberfläche nach der Ste 
tigkeit vertheilten Massen bedeuten. 
Beweis. Bezeichnet man mit Pdp denjenigen Theil von P, welcher von 
dem Massenelemente d p herrührt, mit r die Entfernung des Elements d p von 
ds, und mit u den Winkel, welchen in ds die nach Innen gerichtete Normale 
mit r macht, so ist U = . Es ist aber in Beziehung auf jedes bestimmte 
dp, vermöge eines in der Theoria Attractionis corporum sphaeroidicorum elliptico 
rum Art. 6 bewiesenen Lehrsatzes j‘ c ^A.ds — ü, 2tc oder 4ir, je nachdem dp 
ausserhalb des durch die Fläche begrenzten Raumes, in der Fläche selbst, oder 
innerhalb jenes Raumes liegt. Da nun fPds dem Gesammtbetrage aller 
d[i.j Uds gleichkommt, so ergibt sich hieraus unser Theorem von selbst. 
In Beziehung auf den hier benutzten Hülfssatz muss noch bemerkt werden, 
dass derselbe, in der Gestalt wie er a. a. O. ausgesprochen ist, für einen speciel- 
len Fall einer Modification bedarf. Es bedeutet nemlich r die Entfernung eines 
gegebenen Punktes von dem Elemente ds, und für den Fall, wo dieser Punkt in 
der Fläche selbst liegt, ist die Formel f~r- ds = 2tz nur insofern richtig, als 
die Stetigkeit der Krümmung der Fläche in dem Punkte nicht verletzt wird. Eine 
solche Verletzung findet aber Statt, wenn der Punkt in einer Kante oder Ecke 
liegt, und dann muss anstatt 2tt der Inhalt derjenigen Figur gesetzt werden, 
welche durch die sämmtlichen von da ausgehenden die Fläche tangirenden gera 
den Linien aus einer um den Punkt als Mittelpunkt mit dem Halbmesser 1 be 
schriebenen Kugelfläche ausgeschieden wird. Da jedoch solche Ausnahmsfälle 
nur Linien oder Punkte, also nicht Theile der Fläche, sondern nur Scheidungs-