IM VERKEHRTEN VERHÄLTNISSE DES QUADRATS DER ENTFERNUNG ETC. 229
sen Oberfläche 8 befinden, das Potential in allen Punkten von 8 einen constan-
ten Werth = A hat, so wird das Potential in jedem Punkte O des äussern
unendlichen Raumes T'
erstlich, wenn A = 0 ist, gleichfalls = 0,
zweitens, wenn A nicht =0 ist, kleiner als A und mit demselben Zeichen
wie A behaftet sein.
Beweis. I. Zuvörderst soll bewiesen werden, dass das Potential in O kei
nen ausserhalb der Grenzen 0 und A fallenden Werth haben kann. Nehmen
wir an, es finde in 0 ein solcher Werth B für das Potential Statt, und bezeich
nen mit C eine beliebige zugleich zwischen B und 0 und zwischen B und A
fallende Grösse. Indem man von 0 nach allen Richtungen gerade Linien aus
gehen lässt, wird es auf jeder derselben einen Punkt 0' geben, in welchem das
Potential = C wird, und zwar so, dass die ganze Linie 0 0' dem Raume T'
angehört. Dies folgt unmittelbar aus der Stetigkeit der Änderung des Poten
tials , welches, wenn die gerade Linie hinlänglich fortgesetzt wird, entweder von
B in A übergeht, oder unendlich abnimmt, jenachdem die gerade Linie die Flä
che $ trifft, oder nicht (vergl. die Bemerkung am Schlüsse des 21. Artikels).
Der Inbegriff aller Punkte 0' bildet dann eine geschlossene Fläche, und da das
Potential in derselben constan! = C ist, so muss es nach dem Lehrsätze des vor
hergehenden Artikels denselben Werth in allen Punkten des von dieser Fläche
eingeschlossenen Raumes haben, da es doch in O den von C verschiedenen Werth
B hat. Die Voraussetzung führt also nothwendig auf einen Widerspruch.
Für den Fall A = 0 ist hiedurch unser Lehrsatz vollständig bewiesen;
für den zweiten Fall, wo A nicht =0 ist, soweit, dass erhellt, das Poten
tial könne in keinem Punkte von T' grösser als A, oder mit entgegengesetztem
Zeichen behaftet sein.
II. Um für den zweiten Fall unsern Beweis vollständig zu machen, be
schreiben wir um O als Mittelpunkt mit einem Halbmesser R, der kleiner ist
als die kleinste Entfernung des Punkts O von 8, eine Kugelfiäche, zerlegen sie
in Elemente ds, und bezeichnen das Potential in jedem Elemente mit V; das
Potential in O soll wieder mit B bezeichnet werden. Nach dem Lehrsätze des
20. Artikels wird dann das über die ganze Kugelfläche ausgedehnte Integral
J Vds = 4-RRB, und folglich f(V—B)ds = 0