IM VERKEHRTEN VERHÄLTNISSE DES QUADRATS DER ENTFERNUNG ETC. 
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muss für Eine solche Vertheilungsart ein Minimumwerth dieses Integrals Statt 
finden. Es soll nun ein Beweis gegeben werden für den 
Lehrsatz, dass bei solcher Vertheilungsart 
1. die Differenz F— U = TV überall in der Fläche, wo sie wirklich mit 
Theilen von M belegt ist, einen constanten Werth haben wird; 
2. dass, falls Theile der Fläche dabei unbelegt bleiben, W in denselben 
grösser sein muss, oder wenigstens nicht kleiner sein kann, als jener constante 
Werth. 
I. Zuvörderst soll bewiesen werden, dass wenn anstatt einer Vertheilungs- 
weise eine andere unendlich wenig davon verschiedene angenommen wird, indem 
m-f-jx an die Stelle von m gesetzt wird, die daraus entspringende Variation von 
Q durch 2fW[ids ausgedrückt werden wird. 
In der That ist, wenn wir die Variationen von Q und F mit 3Q und 3 F 
bezeichnen, 
SQ = /3F.mds+/(F—2U)|xds 
Allein zugleich ist fSV.mds = fV\xds, wie leicht aus dem Lehrsätze des 19. 
Artikels erhellt, indem 3F nichts anders ist, als das Potential derjenigen Mas- 
senvertheilung, wobei ¡x die Dichtigkeit in jedem Flächenelemente vorstellt, und 
also was hier F, m, SV, ¡x ist, dort für F, K, v, k angenommen werden kann, 
so wie ds zugleich für d$ und ds. Es wird folglich 
SQ =f(2V—2ü)ixds = 2fW[xds 
II. Offenbar sind die Variationen ¡x allgemein an die Bedingung geknüpft, 
dass f\xds = 0 werden muss; für die gegenwärtige Untersuchung aber auch 
noch an die zweite, dass p in den unbelegten Theilen der Fläche, wenn solche 
vorhanden sind, nicht negativ sein darf, weil sonst die Vertheilung aufhören 
würde, eine gleichartige zu sein. 
III. Nehmen wir nun an, dass bei einer bestimmten Vertheilung von M 
ungleiche Werthe der Grösse IF in den verschiedenen Theilen der Fläche Statt 
finden. Es sei A eine Grösse, die zwischen den ungleichen Werthen von W 
liegt; P das Stück der Fläche, wo die Werthe von W grösser, Q dasjenige, 
wo sie kleiner sind, als A; es seien ferner p, q gleich grosse Stücke der Fläche, 
jenes zu P, dieses zu Q gehörig. Dies vorausgesetzt, legen wir der Variation 
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