STÖRUNGEN DER PALLAS. EXPOSITION ü’uNE NOUVELLE METHODE ETC.
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supposer t entre 0 et 2tc: nous verrons ci-après qu’il faut distinguer le cas
où t est entre ces limites exclusivement, de celui où t = 0 ou = 2 tc.
Considérons d’abord la suite plus générale
(U)
a + a' bpi cos f + a” (b~r) cos 21 + a'" {jj~i cos 31 + etc.
+ P'r+i sin *+ P" (1+7)’ sin 2 *+ (f+7)’ sin 3 i+ etc.
Remarquons qu’elle est l’intégrale
diü. (l + 2 cos (*—<) + 2 (L~y cos 2 [x-t)-+ 2 (Lj^Jcos 3 («—t)+etc.),
prise de x — 0 jusqu’à x — 2tt. La série sous parenthèse est égale à
-Í—T
\1 + ®/
1 +
f—Í-2-
U + e/ 1
1 — e
+ e
cos [x — t)
sin (x — i) 2 -f- e e cos f {x — tf ’
comme on peut aisément vérifier par la multiplication. Ainsi on a
jj 1 i efx. àx
2tïJ sinA(ic — t) Zj r eeco$%[x — <) 2 ’
prenant l’intégrale de x — 0 jusqu’à x — 2tu. Maintenant introduisons une
autre variable y telle qu’on ait
tang \[x—t) = e tang \y,
où l’on peut supposer \y dans le même quadrant où est %[x — t) (pourvu que
e soit positif). On aura donc
u =-hif îx - A ^
l’intégration étant étendue de la valeur de y qui répond à x — 0 jusqu’à
celle qui répond à x — 2tu, c’est à dire, de y — 6 — tc jusqu’à y = ô-J-tc, si
l’on fait
ecotangf t = tang \ 6
et qu’on prenne 6 entre —90° et +90°.
Or on voit que T est la limite de TJ, e décroissant a l’infini. Supposons
donc e infiniment petit, 6 le sera aussi, du moins si l’on excepte le cas t — 0,
duquel nous parlerons séparément. Donc puisque la valeur de îx est tou-