GAUSS AN SCHUMACHER.
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eine höchst abschreckende Detailarbeit erforderlich wäre. Man würde, um
die Verschiedenheit der Fälle wirklich anschaulich zu machen, eine grosse
Menge von Gleichungen in concreto durch Curven versinnlichen müssen; jede
Curve müsste durch Punkte gezeichnet werden, und die Bestimmung eines
einzigen Punkts erfordert schon langwierige Rechnungen Sie sehen es wohl
der Fig. 4 bei meiner ersten Schrift von 1799 nicht an, wie viel Arbeit die
richtige Zeichnung dieser Curve erfordert hat, und doch ist diess vergleichungs
weise nur ein sehr einfacher Fall gegen viele, die hier betrachtet werden
müssten. ......
BEMERKUNGEN.
I. Von der Richtigkeit des von Gauss in der Aufzeichung [1.] ausgesprochenen Satzes kann man sich
nach einer mündlichen Mitteilung von F. Klein wie folgt überzeugen. Setzt man f[x) = w und bezeichnet
die Wurzeln der Gleichung f (x) = 0 — die der Einfachheit wegen alle von einander verschieden sein mögen —
durch a u a 2 , . .., « n _i, so sind die Punkte w = f{aj), f[ot 2 ), ../’(a„_ 1 ) die im Endlichen gelegenen einfachen
Verzweigungspunkte der algebraischen Funktion x von w. Denkt man sich die zu dieser Funktion gehörige
«-blättrige RlEMANNSche Fläche in der Weise konstruiert, daß man durch die Verzweigungspunkte f{a x ),
f ( a 2/> • • ■> f ( a n-i) zur reellen w-Achse parallel laufende Verzweigungsschnitte legt und etwa längs des von
f (ot x ) ausgehenden Schnittes die Blätter 1 und x -f- 1 aneinander heftet, so liefert die Abbildung der Blätter
dieser Fläche auf die æ-Ebene die durch die Bilder der Verzweigungsschnitte begrenzten n Flächenräume,
von denen in dem GAUSSSchen Satze die Rede ist. In der Handschrift geht diesem Satze unmittelbar voran
der Werke III, S. 112 und Werke VIII, S. 32 abgedruckte Lehrsatz mit einem Beispiel. Beide Sätze ge
hören zusammen und fallen, wie auch die Eingangsworte der Aufzeichnung [i.] zeigen, unter den »ganz
neuen Gesichtspunkt«, den Gauss in der Briefstelle [3.] erwähnt.
Schlesinger.
II. Die in den Briefstellen [2.]—[4.] an Schumacher und auch schon früher in dem Briefe an Dro-
bisch (S. 10G, 10 7) gemachten Bemerkungen, die an Fouriers Analyse des équations déterminées (Paris,
1831, deutsch in Ostwalds Klassikern Nr. 127) anknüpfen, verlangen ein Eingehn auf Gauss’ Anzeige dieses
Werkes (Werke III, S. 119), da einige Angaben dieser Anzeige einer Richtigstellung bedürfen. Die Aus
sage Werke III, S, 121, Zeile 4: »In der That ist es zwar wahr, dass die Gleichung X = o zusammen
gezählt genau soviele Paare imaginärer Wurzeln enthält, als solche Ausfälle oder kritische Stellen Vor
kommen«, trifft bei der a. a. O. S. 120, Zeile 5 bis l v. u. gegebenen Definition der kritischen Stellen nicht
zu, wie schon das Beispiel der Gleichung (x — b) n — c — 0 zeigt, wo n eine gerade Zahl 4, b beliebig
reell, c positiv sein soll. Trotz ihrer n — 2 verschiedenen imaginären Wurzeln hätte die Gleichung keine
kritische Stelle im Sinne von Gauss. Wir definieren (vergl. Archiv der Mathem. und Physik (3) 16, 1910,
S. 157) eine kritische Stelle auf folgende Weise: Es bedeuten f{x) = o eine Gleichung nten Grades mit
reellen Koeffizienten, f'[x),f"[x), ... die Derivierten von f[x) und a eine reelle Größe; in der Reihe f(a),
f (a), . f (n) (a) sei e die Anzahl der verschwindenden intermediären Funktionen*), c und d die Anzahl
*) Sollte also etwa f[a) — f’ (oc) = • • • = f u ~ l) (a) = o sein, so sind diese ersten l verschwindenden
Größen bei der Bestimmung von e nicht mitzuzählen.
