BEMERKUNGEN ZUM AGM. ABSCHNITT IV. 
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Beziehung 
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Abhandlung 
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squisitiones 
behält, während die kleine Achse p sich der Null annähert. Zunächst folgt das auch geometrisch evidente 
Resultat, daß 
lim 3=1 
p-* o 
sein muß. Die Betrachtung der linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung, der q als Funktion von p 
genügt (a. a. O. S. 14 7); 
^2 q cl Q 
( ± +P 2 )~ä^+M = 0, 
leitet EüLER zu dem Ansatz (а. а. O. S. 15 5) 
3=1+ Ap~ + Up* -1 + ßjp 4 + 
! logp. 
Für Ä findet Euler zunächst induktiv durch numerische Rechnung den Wert 
Ä = log 2-—, 
den er dann durch Vergleichung des Ellipsenbogens mit einem Parabelbogen bestätigt. In der von 
Borchardt ausgearbeiteten und im Bande I der Werke Jacobis auszugsweise abgedruckten Vorlesung von 
Jacobi, wird (S. 522—525) die EuLERsche Methode auf das Integral erster Gattung angewandt. In der 
ursprünglichen BoRCHARDTschen Ausarbeitung, die von dem abgedruckten Texte nicht unbeträchtlich ab 
weicht, lautet die betreffende Stelle, wie folgt: 
»Man erhält als Endwert für -/ = о 
К' = log [*)]. 
Dieses Resultat hat zuerst Euler gefunden und veröffentlicht in dem Werke Opuscula varii argumenti, 
welches man häufig auf Auktionen bekommt; es findet sich auch im Legendre [Exercices de calcul inte 
gral I, 1811, § 72ff.]. Die Schwierigkeit seiner Herleitung bestand nicht in der Form des Resultats, da 
man schon lange wußte, daß man bei solchen Entwicklungen, welche Potenzen enthalten, auch einen loga- 
rithmischen Term beifügen muß; ja man konnte in unserem Falle sogar leicht finden, daß der Endwert 
= log — war, aber der numerische Wert von n war sehr schwer zu ermitteln, was man bei Legendre 
x 
nachsehen kann, der zwar den Wert n = 4 findet, aber keinen stringenten Beweis dafür gibt.« 
Wie man sofort erkennt, ist die Gleichung Jacobis mit der oben angegebenen Gleichung (a) gleich 
wertig. Da Gauss die Beziehung zwischen dem agM. und dem Eilipsenquadranten gekannt hat (siehe Ab 
schnitt [II.] Gin. [14], [15], S. 17 8), so könnte er die Gleichung (o) bezw. die Gleichung 
(ß) lim M{l,p) log — = 
p-> о P * 
in folgender Weise unmittelbar aus dem EüLERSchen Resultat abgeleitet haben. Nehmen wir а — 1, so 
folgt aus den Formeln [14] (siehe die berichtigte Formel [14]' S. 265) und [35] des Abschnitts [II.] S. 180, 
wenn man v 2 = l— p 2 setzt, die Gleichung 
dq \ 
M[\,p) 
= К 
2 / 1 — p 1 
~ « \ P 
dp 
*) Hier ist K' 
f 
dy 
\/l — (1— x 2 ) sin 2 cp