BEMERKUNGEN ZUM AGM. ABSCHNITT IY. 
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Jetzt macht Gauss die »Observatio« [9]. Diese leitet ihn zu der Vermutung, daß der Zähler »omisso 
factore C« auch allgemein ein agM. sein könnte, und da der reziproke Wert des agM. einfacher zu be 
handeln ist, als das agM. selbst, so setzt er in [13] den Zähler = -jr und findet für Q die Entwicklung 
[14], aus der er gemäß Abschnitt [III.] art. [2.], S. 182 die Aussage [15] erschließt. Nun macht er ähnlich 
wie schon für x — \J2 im Leiste (siehe oben S. 149, art. [8.]) den Übergang zur Integraldarstellung, 
schreibt aber zunächst, wohl infolge eines Rechenfehlers, das unrichtige 
o 
neben das er erst später (mit ersichtlich anderen Schriftzügen und anderer Tinte) berichtigend das Integral 
erster Gattung setzt*). Die Reihenentwicklung [14], die genau mit der Funktion cpa; der Aufzeichnung 
[III.] art. [l.] übereinstimrat, läßt jetzt Q als agM. erkennen, was in der Gleichung [20] ausgesprochen ist. 
1 . . .1 
»Numerator pro —bedeutet dort soviel, wie der Zähler des Ausdrucks in [7] für x = —. Das »de- 
k k 
monstr[atum]« deutet darauf hin, daß es sich um den Beweis einer früher gehegten Vermutung handelte 
(vergl, oben), die unerklärliche Buchstabenverbindung GALEN (verschnörkelte Großbuchstaben) erinnert an 
das »vicimus GEGAN« der Tagebuchnotiz Nr. 43 vom 21. Oktober 1 796. 
Die jetzt gewonnene allgemeine Einsicht, daß der reziproke Wert des agM. das vollständige 
Integral erster Gattung ist, liefert nicht nur aufs neue den Beweis der in der Tagebuchnotiz vom 30. Mai 
1 799 gemachten Bemerkung (siehe oben S. 260), sondern muß als ausschlaggebend dafür angesehen werden, 
daß Gauss von nun ab seine Aufmerksamkeit dem allgemeinen elliptischen Integral erster Gattung als 
der Avahren Verallgemeinerung des lemniskatischen Integrals zuwendet. Die »Peripheria Ellipseos« tritt in 
der Gleichung [22] noch einmal auf. Die kleine Zahlenrechnung zeigt, daß Gauss hier die Formel [4] des 
Leiste (Abschnitt [II.], S. 17 7) nachgerechnet hat, indem er in die Entwicklung [l] (S. 17 7) den Wert [3] 
einsetzt. Er begeht aber wieder einen Rechenfehler, denn statt —176 muß richtig +551 stehen, wodurch 
statt — 64.? 3 der richtige Wert + 6632 3 zum Vorschein kommt. 
Mit der Formel [22] ändert sich die Bedeutung des Buchstaben z\ A*on nun ab ist z der reziproke 
Wert der in [10] mit demselben Buchstaben bezeichneten Größe (unseres j), hat also dieselbe Bedeutung 
wie in den Formeln des Leiste, Abschnitt [II.]. Nach einigen Zwischenrechnungen drückt Gauss in [32] 
die Größe z durch s — — aus, die logarithmische Derivierte dieses Ausdrucks wird schon in [29] betrachtet. 
Dabei hat s dieselbe Bedeutung wie das B in der Leisteformel [3] Abschnitt [II.], S. 17 7, so daß also [3 2] 
durch Inversion der berichtigten Reihe [3] bezw. der in [io]', S. 27 0 auftretenden Reihe, für x = —, j = — 
s z 
hervorgeht. Nun bildet er die Funktion P[s), die nach der Reihenentwicklung [36] (vergl. [3 3] im Leiste, 
Abschnitt [II.], S. 180) und nach [37] (vergl. [3 5] im Leiste, Abschnitt [II.], S. 180) durch die Gleichung 
[37]' 2 ) = 
definiert werden kann. Der in [37] benutzte Buchstabe c hat nämlich die Bedeutung y/i — s*, wobei man 
etwa an cosinus oder an die Gauss geläufige Bezeichnung c = \/a 2 — 6* für a = l, & = s zu denken 
hat. Setzt man in die Reihe [3 6] für s seinen Ausdruck aus [io]' 
[io]" s = 4 z — 16# 8 +56# b —160 z 7 
*) Der Abdruck gibt an dieser Stelle (S. 18 7) die Anordnung der Handschrift genau wieder.