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ANALYSIS. NACHLASS. 
transscendenten Functionen gehörig aus Handbuch 16, Bb xmd die Werke III, S. 440 tf. aus Handbuch 18, 
Bd, S. 221—2,03 abgedruckte Abhandlung) mit \z\ und (siehe art. 5 der Hundert Theoreme über die neuen 
Transscendenten, Werke III, S. 46 5) mit Fz bezeichnet. Die Buchstaben p, q bedeuten hier dasselbe wie 
im art. [5.], für ihre hier gegebenen Ausdrücke vergl. Werke III, S. 44 6 ff. aus Handbuch 18, Bd. 
Im art. [10.] treten als durchaus neues Element die von zwei Veränderlichen a,z abhängigen Pro 
dukte auf, ihre Umwandlung in eine Reihe erfolgt nach einer Methode, die später auch Jacobi (1 829, Ja- 
cobis Werke I, S. 2 3 2] ersonnen hat. Im art. [12.] wird so das Produkt K, das die allgemeine Theta 
funktion darstellt, und sein Quadrat in eine Reihe verwandelt, wobei aber die konstanten Faktoren P bezw. 
P und Q unbestimmt bleiben. Nimmt man bei der Umformung von K noch die Bestimmung von P = 
hinzu, so erhält man die berühmte Identität zwischen der Reihen- und Produktdarstellung der 
Thetafunktionen in der Form, wie sie Gauss später (siehe Abschnitt [I.], art. [4 ] der unten folgenden 
Abhandlung Zur Theorie der transscendenten Functionen gehörig, ferner Hundert Theoreme, Werke 111, 
S. 4 64, das vierte Theorem) wiederholt angegeben hat. Bekanntlich hat Jacobi in einem Briefe an 
P. H. Fuss *) erklärt, es sei diese Identität »wohl das wichtigste und fruchtbarste«, was er »in reiner 
Mathematik erfunden habe«. Die artt. [13.], [14.] geben die Anwendungen auf die Funktionen T und W. 
Im art. [l 4.] bedeutet e ebenso wie im art. [8.] die \j — 1. Wir bemerken noch, daß sich zwischen dem 
art. [13.] 4ind dem die Scheda Ac abschließenden art. [14.] auf S. 4 7 beginnend eine Anwendung der 
Theorie der elliptischen Funktionen findet: Motus solidi a nullis viribus sollicitati, über die Schering 
Werke III, S. 49 5 kurz berichtet. 
Die hier besprochenen Aufzeichnungen entsprechen den Tagebuchnotizen Nr. 105—Nr. 10 8, sie sind 
demnach im Mai 1800 in Braunschweig verfaßt worden. Man vergl. hierzu den Abschnitt V. des Aufsatzes 
»Uber Gauss’ Arbeiten zur Funktionentheorien. 
Erläuterungen zu [VI.] und [VII.], S. 207—21 2.. 
Die Aufzeichnung der Scheda Ae im Abschnitt [VI.] kann als Vorarbeit zu der Pars altera der Ab 
handlung von 1800 (Werke III, S. 372) angesehen werden und bildet zugleich durch die Ausführung einiger 
in jener Abhandlung nur angedeuteten Rechnungen eine Ergänzung zu ihr. ln den Gleichungen (1), (2) 
des art. 2. ist 
x' = i [x -f- y), y' = \Jxy 
ebenso bedeuten weiterhin x", y" u.s.w. die folgenden Elemente im Algorithmus des agM. In der Formel 
S. 208, Z. 5 fehlen in der Handschrift gewisse Faktoren; die Formel muß lauten 
dM[x,y) _ 1 M / | y'[x'x'—y'y') x' ^ y" [x"x"—y"y") x' 
dy 2 x' \ r y.xx—yy) x" y[xx—yy) x'" 
Die Aufzeichnung der Scheda Af, Abschnitt [VII.], geht sehr erheblich über den Standpunkt der Ab 
handlung von 1800 (Werke III, S 3 61) hinaus, indem sie bereits alle wesentlichen Bestandteile für eine 
selbständige Theorie der Modulfunktion enthält. Sie gewinnt besondere historische Bedeutung dadurch, 
daß sie Ergebnisse, die sonst nur aus erheblich später zu datierenden Aufzeichnungen bekannt waren, für 
das Jahr 1804 sicherstellt. So die Formel [l], die übersichtliche Zusammenstellung der Ausdrücke von a, b, 
\Ja 2 — b 2 durch die Reihen p, q, r am Anfang des art. [3.], und die wichtige Relation [10], die hier an 
scheinend unabhängig von der Differentialgleichung [i 2] aus der Darstellung [2] hergeleitet worden ist. 
*) Briefwechsel zwischen Jacobi und Fuss, herausg. von Stacker und Ahrens, i 9 os, S. 6 o, siehe 
auch Bibliotheca Mathematica, (3) 8, S. 291.