BEMERKUNGEN ZUM AGM. ABSCHNITT IX. 
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Schnitts [IX] enthalten, und zwar stimmt die erste mit der Gl. [l], die zweite mit der Gl. [4] überein. Die 
Bedeutung namentlich der ersten Gleichung erhellt aus ihrem Zusammenhang mit dem »Schönen Lehrsatz« 
des art. [4.], S. 220, vergl. den Artikel 2. unseres Abrisses oben S. 2 55 und die Erörterungen yon Schering 
im Artikel 13. seines Aufsatzes, Werke III, S. 379, 380 ; die Gleichung der ersten Zeile von S. 380 ist nichts 
anderes als jener »Schöne Lehrsatz«, der also auch mit dem Werke VIII, S. 9 8 abgedruckten Theorema 
eleganiissimum übereinstimmt (vergl. die Bemerkung von II. Fricke, a. a. O.). Übrigens ist die Gleichung 
[l] vollkommen identisch mit der historisch so bedeutungsvollen Gleichung [7] des Abschnitts [IV.] (oben 
S. 186), die in der Scheda Ac, S. 10 aufgezeichnet ist. ln [i], [2], [3] bedeutet k den Modul der Brigg- 
schen Logarithmen, vergl. auch art. [2.], S. 218, wo die mit a bezeichnete Größe gleich Jen ist. Die Hand 
schrift enthält noch eine Formel für die Peripheria Ellipsis, die mit der in der Anzeige der Determinatio 
attractionis (Werke III, S. 36 0) gegebenen übereinstimmt und darum hier nicht abgedruckt worden ist. 
Die im art. [1.] enthaltene Aufzeichnung stammt aus dem Mai 1809. 
Die in den artt. [2.]—[9.] wiedergegebenen Aufzeichnungen geben eine vollständige Skizze für die 
Theorie der Modulfunktion. Der Inhalt der artt. [2.] und [4.] ist im wesentlichen in der Scheda Af (siehe 
die artt. [2.], [3.], [4.] des Abschnitts [VII.], S. 210, 211) enthalten. Der Satz [l] des art. [3.], S. 219 gibt 
den nexum mutuum, der die infinite multos terminos medii arithmetico-geometrici mit einander verbindet, 
und den Gauss nach der Notiz Nr. 109 des Tagebuchs am 3. Juni 1800 in Braunschweig gefunden hat. Zu 
diesem Fundamentalsatz der Lehre von der Modulfunktion ist folgendes zu bemerken. 
Bedeutet [a, b) einen beliebigen von Null verschiedenen Wert des agM. zwischen a und b, bei 
dessen Erzeugung durch den Algorithmus des agM. die Vorzeichen der Quadratwurzeln also irgendwie 
gewählt worden sind, so ist stets 
1 8 ( iy 
m [a,h) — M[a, b) 1 M[a,c)' 
Wenn in dieser F’ormel M(«,&), M[a,c) irgend zwei bestimmte Werte des agM. zwischen a und b, be 
ziehungsweise zwischen a und c = sja 2 — b 2 bedeuten, so sind 8, y ganze Zahlen, die den Bedingungen 
8=1, y — 0 (mod. 4) 
genügen. Nennt man zwei Werte M{a,b), M{a,c) zusammengehörig, wenn der reale Teil des Quo 
tienten l wesentlich positiv ist, so gilt *) das folgende. Bedeuten M[a, b), M(a, c) zwei zusammenge- 
M (a, c) 
hörige Werte, so ist in der Formel (4f) dann und nur dann 8 = 1, wenn auch («, b) und M(«, c) zu 
sammengehörige Werte sind. Das ist also die Bedeutung der GAUSSschen Formel [l] oder’"*) 
1 1 , 4ik 
[1]' 
äR [a,b] M{a,b) ' M[a,c) 
Wahrscheinlich hat Gauss diese Formel aus der Theorie der Reihen p,q,r, die er als die Summa 
torischen Funktionen bezeichnet***), abgeleitet; diese\ermutung stützt sich auf den art. [6.;, S. 222, 
wo in [5] der allgemeinste Wert der dort mit M bezeichneten Größe angegeben und in den Kettenbruch 
[4] entwickelt wird, bei dem der Quotient 
n cf 
m p 2 
*) Nach einer Mitteilung von L. V. David. 
**) Vergl. Werke III, S, 3 7 8. 
***) Werke III, S. 386 unten; diese Stelle, d. h. die fünf letzten Zeilen dieser Seite, hat Gauss auf der 
letzten Einbandseite seines Handexemplars der Disquisitiones arithmeticae aufgezeichnet. 
Xi. 
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