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ANALYSIS. NACHLASS. 
seinen Wert nicht verändert. Hier ist also 
M = 
M {m, \Jm*—n 2 ) 
auch wendet Gauss in den artt. [6.], [7.], [8.], [!).] die Funktionszeichen p, q, r etwas abweichend von der 
sonst gebrauchten Weise an, indem er nämlich 
Pit] = i 2e~ i7zt + 
q[t) = i — 2e~ nt + 2e - — 2e~ 97zt -) , 
r[t) = 2e-i- r ’ t +2e-T r ' t +2e~$r nt +--- 
setzt: vergl. die Werke VIII, S. 101 in art. [3.] abgedruckte Aufzeichnung, die aus dem Handbuch 23, Bh, 
S. 25 stammt und etwa 1 825 geschrieben sein dürfte. Daß auf S. 223 mit den Formeln für die lineare 
Transformation von pt auch die entsprechenden Formeln für die von den beiden Veränderlichen abhängige 
Thetafunktion aufgezeichnet sind (vergl. die ausführliche Darstellung dieser Theorie im Abschnitt [I.] artt. [ i.] 
und [13.] der unten folgenden Abhandlung Zur Theorie der trans scendenten Functionen gehörig, besonders 
die letzte Gleichung des art. [13.]), erscheint durch die Form bemerkenswert, in der Gauss hier die allge 
meine Thetafunktion schreibt, nämlich 
2ß«-f y 
n 
wo die quadratische binäre Form im Exponenten den Zusammenhang mit der Zahlentheorie unmittelbar 
hervortreten läßt. 
In den artt. [".] und [8.] wird das Verhalten der drei Summatorischen Funktionen p, q, r bei ganz 
zahliger linearer Transformation von M in den sechs verschiedenen Fällen modulo 2 aufgestellt und mit Zu 
hilfenahme der Reduktionstheorie der binären quadratischen Formen negativer Determinante, die »einfachste 
Form« von M gefunden. Daß in der Tabelle [6], S. 224, für h der reziproke Wert des in der Handschrift 
und Werke III, S. 386 angegebenen Wertes i a \/f> 4- ft] genommen werden muß, hat schon P. Pepin*) be 
merkt. Vergl. im übrigen den Abschnitt V. des Aufsatzes »Über Gauss’ Arbeiten zur Funktionentheorie«. 
Die beiden Zettel, auf denen die art. [1.]—[9.] aufgezeichnet sind, stammen aus verhältnismäßig später 
Zeit; das geht u. a. daraus hervor, daß auf dem zweiten Zettel (siehe oben S. 226) die von Fourier 1822 
eingeführte Bezeichnung der Grenzen eines bestimmten Integrals benutzt wird. Sie dürften etwa 1825 ge 
schrieben sein, aber, wie bereits bemerkt, stammt ihr wesentlicher Inhalt aus dem Jahre 1801. Auszüge 
aus diesen beiden Zetteln sind Werke III, S. 378, 379, 385—386 und VIII, S. 99, ioo—101 abgedruckt. 
In den artt. [10.] und [12,] wird die Darstellung des elliptischen Integrals erster und zweiter Gattung 
mit veränderlicher oberer Grenze ähnlich wie in der Determinatio attractionis gegeben; die Rektifikation 
der Ellipse wird im art. [13.] noch nach einer zweiten Methode behandelt. Die Entstehungszeit dieser 
Untersuchungen ist durch die Tagebuchnotizen Nr. 11 o und Nr. ill auf 5. bis 10, Juni 1800 festgelegt. Die 
Transcendentes ellipticae, auf die nach Nr. no Gauss seine Theorie nun auch unmittelbar angewendet 
hat, sind die Integrale erster Gattung, und mit der unmittelbaren Anwendung ist der Algorithmus gemeint, 
der 6 — T w liefert (siehe oben S. 228). Von den drei verschiedenen Methoden, nach denen Gauss gemäß 
der Notiz Nr. ill die Rektifikation erledigt hat, sind hier zwei entwickelt. Die in den artt. [io.]—[14.] 
abgedruckten drei Zettel selbst sind ersichtlich kurz hintereinander, aber auch sehr viel später als isoo 
*) Introduction à la théorie des fonctions elliptiques d’après les Oeuvres posthumes de Gauss, Me 
morie dell’ Accad. Pontif. de’ Nuovi Lincei 9,2, 1893, S. 103.