BEMERKUNGEN ZUR THEORIE DER TRANSZENDENTEN FUNKTIONEN.
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[1]"
öoo \— ie
= \/—ir fi 00 («> I e T7Ti ).
P bedeutet in den Gleichungen des art. [i.], wie auch sonst oft bei Gauss (siehe z. B. Disquisitiones arith
meticae, Werke I, S. 413), den Umfang des Kreises vom Halbmesser Eins. Zu den Formeln selbst vergl.
oben S. 223 die Formeln für p
/ l iu\
\T’ rj
und fdr vr +,?,+T .
Die den art. [i.] abschließende Bemerkung über das agM. enthält die auch im art. 16. der Deter-
minalio attractionis (1818), Werke III, S. 352 unten, zu findende LANDENSche Transformation. Ihr
Auftreten an dieser Stelle zeigt, daß Gauss die Bedeutung der Gleichung [i] als Transfonnationsformel wohl
erkannt hat.
Die artt. [2.], [3.] geben die Umiormung der Potenzreihen, deren Exponenten eine arithmetische Reihe
zweiter Ordnung bilden (Thetanullreihen), in Produkte, vergl. schon in der Scheda Ac, oben S. 201, art. [9.].
Im art. [4.] wendet sich Gauss nach einer Zusammenfassung dieser Umformungsgleichungen zu den von
den beiden Veränderlichen x und y abhängenden Reihen und Produkten (Thetafunktionen). Die Gleichung
rj£ ist jene schon in der Scheda Ac (siehe oben S. 204) auftretende berühmte Identität zwischen der Reihen-
und der Produktdarstellung der Thetafunktion, vergl. auch die Abhandlung Zur Theorie der neuen Trans-
scendenien, Werke 111, S. 446, Gl. 6. in Verbindung mit Gl. 9. auf S. 447 (diese Abhandlung stammt aus
dem Handbuch 18, Bd, S. 221—223 und ist, da sie der Tagebuchaufzeichnung Nr. 139 entspricht, im Juni
1 809 verfaßt). In den artt. [5.]—[io.] werden Transformationsformeln für die allgemeine Thetafunktion durch
Induktion aufgestellt und dann in den artt. [l l-], [12.] mit Hilfe des jetzt sogenannten HEKMiTEschen
Transformationsprinzips bewiesen, vergl. oben S. 27 7. Man vergl. zu diesen Formeln auch die bereits er
wähnte Abhandlung Zur Theorie der neuen Transseendenten, Werke 111, S. 44 6 und die Hundert Theo
reme, ebenda S. 4 61 ff. In der letzteren Abhandlung (die wohl aus der Zeit um 1 825 stammt) werden für
die drei geraden Thetafunktionen »besondere Functionalzeichen eingeführt« (Werke III, S. 46 5); es ist für
2 TOn
x = q, y = e
P[x,y) = fioo [v\q], Q{x,y) = ftoiNäb B[x>y) = #io(®lä):
zu diesen tritt später (1 827, Werke III, S. 472) das Zeichen S[x,y) für die ungerade Thetafunktion. Wir
fügen noch für einige der wichtigsten Formeln Verweisungen auf die entsprechenden Stellen der oben ge
nannten späteren Abhandlungen hinzu.
Im
art. [3.], zu
[2] vergl. Werke III,
S. 447, Gl. 14. (auch Werke II, S. 20),
art. [4.], „
[3] „
yy )) y
S. 447, Gl. 10.,
yy
[4] „
>} yy y
S. 447, Gl. 1 1.,
1)
[5]
yy y) y
S. 446, Gl. 5.,
art. [7.], „
[6] „
yy y> y
S. 449, Gl. 24.,
art. [8.], „
[7] „
yy yy y
S. 450, Gl. 36.,
>>
[8] „
yy yy y
S. 451, Gl. 41.,
art. [9.], „
1. „
yy yy y
S. 450, Gl. 29,, für — X statt X,
))
2. „
yy yy y
S. 450, Gl. 30., „ „
1)
[9] „
yy yy y
S. 449, Gl. 28., „ „
))
[io] „
yy yy y
S. 449, Gl. 25. und 27.
[13.]
bedeutet
si die
lemniskatische
Periode; zu dem daselbst gefundenen
Im art. [13.
L_ 4/ — wird man die aus der Scheda Aa stammenden numerischen Werte Werke III, S. 418 art. [8.
^2 V *
vergleichen können.
41
In der Fußnote oben S. 302 ist M = log 10 e.
X 1 .