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ANALYSIS. NACHLASS. 
Dieser zweite Teil ist auf S. 222—226 desselben Handbuchs 19, De aufgezeichnet, seine Abfassungszeit 
ist in dem Hinweis am Schluß des art. [.4] genau angegeben. Für eine Ellipse, deren Halbachsen zu l + X 
und i—X angenommen werden, wird gefragt, mit welcher Dichte die Masse 2тгA auf der Peripherie ausgebreitet 
werden muß, damit ihr Potential*) in den Punkten der Ellipse übereinstimmt mit dem Potential der im 
Ellipsenmittelpunkt aufgespeicherten Masse. Die Differenz dieser beiden Potentiale ist also nach heutiger Aus 
drucksweise nichts anderes, als die zu dem Mittelpunkt als Pol gehörige GREENsche Funktion der Ellipsen- 
fläehe, multipliziert mit 2r.A. Im art. [6.] bildet Gauss die Differenz der vollständigen Potentiale 
d. h. er denkt sich jedes der beiden Potentiale durch Hinzufügen der sogenannten konjugierten Funktion zu 
einer monogenen Funktion der komplexen Veränderlichen x-\-yi ergänzt und diese beiden Funktionen von 
einander subtrahiert; setzt man diese Differenz gleich log t, so liefert t offenbar die in den kleinsten Teilen 
ähnliche Abbildung der Ellipse auf den Einheitskreis, d. h. das so definierte t stimmt mit der ebenso be 
zeichnten Größe der artt. [3.] und [4.] überein. Insbesondere ist die lleihe [l4] mit [7] identisch, womit 
für die letztere Reihe das «Gesetz gefunden« ist. Der Übergang von den Logarithmen zu den Zahlen führt 
zu der Produktdarstellung [15] von t, die unmittelbar in die üblichen Bezeichnungen der Theorie der ellip 
tischen Funktionen übertragen werden kann. Setzt man nämlich wie oben S. 321 
■,2 А ^2 22 2 TI 2 
A* — ja* = ж = q, Xu = ¡Jru* = у =■ e , 
so ist 
_ F{x,y) _ ftoo(p|g) 
Q[a,y) »io (»12) 
und der Übergang von [15] zu [16] vollzieht sich durch Anwendung der oft genannten Identität zwischen 
den Produkt- und Reihenformen der Thetafunktionen, siehe z. B. die Gleichung :£f: S. 29 3. 
ln der Gleichung [18], bezw. der berichtigten Form [18 a], S. 319, und ebenso in [21] hat T die Be 
deutung 
T — u-\- Xu l , 
während die in den artt. [3.] und [4.] mit T bezeichnete Größe in [21] mit 1" bezeichnet ist. In [22] ist 
T wieder in der Bedeutung U-\-XU~ l zu nehmen, wo also, vergl. art. [5.], S. 315, 
ü — cos E -f- i sin E 
sich auf einen andern Ellipsenpunkt bezieht als u. Aus [22] ergibt sich für den reziproken Wert des in 
Gl. [24] mit A bezeichneten Faktors zunächst die in [23] unter dem Logarithmuszeichen auftretende Produkt 
darstellung, die vermöge der schon in der Scheda Ac (siehe oben S. 201, art. [».], Gl. 3), wo z — X 2 zu 
nehmen ist) angegebenen Umformung in den reziproken Wert von 
(i + X 2 -f X ß + X 1S -( ■)* 
verwandelt werden kann. Damit ist nun auch für die in der Gl. [5 a], oben S. 314 auftretende Reihe -}f das 
»Gesetz gefunden«. Im art. [8.] ist in den sonst üblichen Bezeichnungen 
a = jp(p, 4 ) = p[X z ] = fi 0 o(»|X*), 
b = r (p. 4 ) = r(k z ) = »io(0|X 8 ), 
und nun folgt aus der bekannten Formel 
2 »oo Hä 2 i ü 10 (0|3®) = »J 0 (o|q] 
die im art. [6.], Gl. [20] angegebene Formel **) 
**) Wir machen besonders darauf aufmerksam, daß Gauss im Texte die Bezeichnung Potential be 
nutzt und zwar in einer Weise, die darauf schließen läßt, daß ihm dieser Kunstausdruck damals (18 3 9) völlig 
geläufig war. In dem älteren Teile der Abhandlung artt. [l.]—[4.] findet er sich nicht.