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ANALYSIS. BRIEFWECHSEL.
sowohl logj/ als log—3/, aber nie beides zugleich, sondern das erstere, wenn
man das Integral von y = 1 anfangen lässt, das zweite, wenn es von y = — \
anhebt; das zweite Integral ist eben so wie das erste in dem allgemeinen
log y + C begriffen, wenn man das einemal C = 0, das zweite mal C — ± tc*
oder ± 3 Tzi etc. setzt. Sehr wahr aber ists, dass Eulers Bemerkung insofern
einer Berichtigung bedarf, als keineswegs C unendlich wird, wenn das Integral
von z = 0 anheben soll[ # )]. — Meiner Ansicht nach darf man also nicht setzen
sondern muss sich entweder zu oder zu l{—lx) erklären, aber nur zu
einem bestimmt entschliessen. —
Übrigens glaube ich, dass die Ausdehnung der Untersuchungen auf ima
ginäre Argumente zu höchst interessanten Resultaten Anlass geben wird. Doch
mögte ich aus den oben angeführten Gründen lieber die Function
als
wählen, weil ich vermuthe, dass erstere concinnere Resultate geben wird. So
zum Beispiel, möchte ich sehr gern wissen, ob jene Function oder, was das
selbe ist, die Reihe
für gewisse endliche Werthe von x von der Form a-\-hi wol 0 werden kann.
Mit Gewissheit kann ich es noch nicht behaupten, ob wol es mir sehr wahr
scheinlich ist. Gibt es solche Werthe (dann gewiss unendlich viele), so werden
diess sehr merkwürdige Grössen seyn und die ganze Reihe wird sich in un
endliche Factoren der Form (l -f- 2 ax -{- ßxx) zerlegen lassen [** [***) )]. —
Von ein Paar andern Kleinigkeiten kann ich diessmal nur einige Worte
hinzusetzen. Ich hätte gewünscht, dass Sie etwas umständlicher (pag. 6[ ### )] am
[*) Siehe Institutiones calculi integralis I, a. a. O.]
[**) Vergl. den S. 374 folgenden Brief an Bessel vom 5. Mai 1812.]
[***) Fe, W. Bessel, Abhandlungen II, 1876, S. 331, l. Spalte.]