372
A. N ALY8IS. BRIEFWECHSEL.
vous en occuper quelques momens ; dans ce cas je suis sur que vous trouverés
une solution plus complété. Le voici. Soit M une quantité inconnue entre
les limites 0 et 1, pour laquelle tou[tels les valeurs sont ou egalement pro
bables ou plus ou moins selon une loi donnée: qu’on la suppose convertie
en une fraction continue
m - 1 —
“ + a” + etc.
Quelle est la probabilité, qu’en s’arrêtant dans le développement à un
terme fini, a (n) , la fraction suivante
1
a C«+l) l
a (n+î) + etc>
soit entre les limites 0 et æ? Je la désigné par P(w, x) et j’ai en supposant
pour M toutes les valeurs egalement probables
P(0, x) = x\
P[],x) est une fonction transcendente dépendante de la fonction
1 + w + iH h
i
X
que Euler nome inexplicable et sur la quelle je viens de donner plusieurs
recherches dans un mémoire presenté à notre société des sciences] qui sera
bientôt imprimé[*)]. Mais pour les cas ou n est plus grand, la valeur exacte
de P(w, x) semble intraitable. Cependant j’ai trouvé par des raisonnemens
tres simples que pour n infini on a
P(n, x) —
log (1 + x)
log 2
Mais les efforts que j’ai fait lors de mes recherches pour assigner
pour une valeur très grande de h, mais pas infinie, ont été infructueux.
[*) Disquisitiones circa seriem etc., der Gesellschaft der Wissenschaften vorgelegt am 3 0. Januar 1 s12,
Werke III, S. 123; siehe insbesondere S. 154 ff.]