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ANALYSIS. NACHLASS. 
cos cp = p, cost) = q, x — \—gco&M, y = i—fco&E, 
dann folgt nach [14]' 
[14]" 
•1 1 
1 , 
5 1 
—— = —— • —— ] 1 -| i £ -j £ 2 -( — i s 3 -{- • • • 
?/ 2 p 2 £ 2 ( V 3 12 P 
3 1 2 1 1 • 3 
e 2 It 3 — 
4 p 2 2 p 3 
und nach [15]', indem man für p. die Reihenentwicklung [l 3]' einsetzt, 
—pqz 
[15]" 
11 1 11 
1 i e s 2 -l ie 3 + 
3 p 12 60 p 
+ 1*£ 2 
4 q 
1 1 
Z£ 3 + 
Multipliziert man diese beiden Ausdrücke miteinander und mit p, so erhält man zunächst die Gleichung 
[31], oben S. 425, aus der dann die Gleichung [32] oder 
r ,, COS cp cos 9 ( 2 A „ , ) 
1321 •, cos E = »d-yeo,M) j'- T °°to°Se.e + -j. 
folgt. Zieht man in [15]" beiderseits die Quadratwurzel aus und berechnet aus der so entstehenden Glei 
chung £ durch Reihenumkehrung, so erhält man die Gleichung [3 3], oben S. 126, oder 
[33]' 
—i 
2 (i —g cos M] 
cos cp. cos 0 
l 
3 
1 —g cos M 
cos 2 cp . cos 0 
Setzt man diesen Wert von £ in [32] ein, so ergibt sich [34] oder 
[34]' 
COS cp 
cos 0 
v/2 
(i — sin cp cos E] 2 
2 (i —sin 0 cos M) 
3 cos 2 cp 
ltv/t 
cos 0 
-sin 0 cos M 
+ 1 
Soweit ist alles ganz streng, und die auftretenden Reihenentwicklungen konvergieren für hinreichend 
kleine Werte von £ und u., das heißt also, wenn E hinreichend nahe an @, und M hinreichend nahe an 9)1 
liegt. Bei der weiteren Rechnung ersetzt nun Gauss die auf den rechten Seiten der Gleichungen [32], [3 3], 
[34] auftretenden Reihen durch ihre ersten Glieder; in der Tat sind die Gleichungen [l9], [21], [23] des art. 
[2.], oben S. 422, 423, nichts anderes als die in der angegebenen Weise reduzierten Gleichungen [32]', [33]', 
[34]'. Die Gleichung [23], das heißt [34]' mit Vernachlässigung der nicht hingeschriebenen Gliedei', bildet 
also jetzt den Ausgangspunkt für alles folgende. 
Setzt man, wie im art. [3.], oben S. 423, tang A 0 = y, so ergeben die Gleichungen [l]—[s] des 
art. [l.], oben S. 420 *), die Gleichungen [24] und [25], oben S. 423, das heißt die Entwicklungen von 
cos 0 , . / cos 0 
und 1/ — 
i—gcosM y i—gcosM 
nach den Kosinus der Vielfachen von M. In der Entwicklung der Quadratwurzel lautet der Koeffizient 
von cos nM 
2 (1 — y 2 ) S 
3 
4 
2% ~ 1 «/ . 1 2W+1 0 , 1 3 2W+1 2W-4-3 
2 n 2 2 n -f- 2 1 ' 2 4 2n+2 2»+4 
*) Um Übereinstimmung zwischen den Bezeichnungen der artt. [i.] und [3.] zu erzielen, hat man in 
den Gleichungen [3] und [5] zu nehmen ot = y = tang also das dortige 0 gleich der Hälfte des hier 
mit 0 bezeichneten Winkels, und u — M zu setzen. Man vergl. übrigens den art. [5.] des Abschnitts [III.] 
Ober F[a, ß, y, x], oben S. 345.