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GEOMETRIE. NACHLASS. 
das konstante Glied fehlt, weil cp(o) = o ist. Jetzt wird nach (6): 
(8) <j/(A) |aco 2 x'(A) -1 j — 2 4»(a>x'(A)), , 
mithin muß die Entwicklung von <J>(A) nach Potenzen von A mit einem Gliede ßA 2 anfangen, und man hat, 
nach Potenzen von o> entwickelnd: 
(9) (J/(A).ato 2 x'(A) 4- = 2ß«) 2 (x'(A)) 2 -j , 
woraus durch Vergleichung der Koeffizienten von tu 2 die Schlußformel von Gauss hervorgeht: 
(10) a^'(A) = 2ßy/(A). 
Um die Rechnung zu Ende zu führen, integriere man die Gleichung (lü) und substituiere 
(H) «HA) = ^f-x(A) 
in der Funktionalgleichung (5). Indem noch tux'(A) = £ gesetzt wird, geht diese über in die Differential 
gleichung 
( 12 ) = 2 xa 
mithin ist x (6) == ^ «£ 2 und 
(13) 9(6) = «6, tp(€) = ߣ 2 . 
Dabei ist 6 = u>x'(A). Indem man beachtet, daß von vornherein bei den Entwicklungen nach Potenzen 
von tu von den Gliedern dritter und höherer Ordnung abgesehen wurde, ergibt sich schließlich, daß der 
Ansatz unter den gemachten Voraussetzungen zu den Gleichungen führt: 
^ | cp(A) = aA-(- * + a 3 A 3 
' I HA) = * + ßA 2 + ß 3 A 3 -| , 
wobei die Koeffizienten a, a 3 , ..ß, ß 3 , ... unbestimmt bleiben. 
Gauss hat neben die letzten Formeln der Notiz [I.] geschrieben: 
cp(A) = sin A. 
In der Tat wird die Funktionalgleichung (5) durch diese Annahme für cp(A) in Verbindung mit 
4»(A) = — (i— cos A) 
erfüllt, wenn, den Voraussetzungen entsprechend, sin (tu sin A) durch tu sin A und cos (tu sin A) durch 
l— 4-<u 2 sin 2 A ersetzt werden darf, und man wird so auf die in der sphärischen Trigonometrie 
geltenden Gleichungen geführt. 
Im Unterschied gegen die Notiz [I.] wird in der Notiz [III.] ein Ansatz versucht, bei dem ui einen 
beliebigen spitzen Winkel bezeichnet. Einen Übergang hierzu bildet die kurze Notiz' [II.], in der bereits 
tucp(A) und u)^(A) durch cp (u>, A) und ^(oa, A) ersetzt werden. Jedoch gilt die Gleichung 
d<f{uì, A) 
ÖA 
A)> 
wie man sich leicht überzeugt, nur für kleine Winkel tu im Sinne der Notiz [I.]. 
In der Aufzeichnung [III.] handelt es sich um ein rechtwinkliges Dreieck mit dem spitzen Winkel tu, 
bei dem die Hypotenuse mit A bezeichnet wird; die Katheten heißen cp (tu, A) und x(*»>A), der andere spitze