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TAGEBUCH MIT ERLÄUTERUNGEN.
Leisteaufzeichnungen, sowie die dazugehörigen Bemerkungen S. 149, wo auch Literaturnachweise gegeben sind.
Das zweite Integral ist ein besonderer Fall des in der Nr. 63 vom 1'2. Januar 1797 aufgezeichneten Integrals
^ ¡¡f,n n z n ~ 2 dz
, das durch die Substitution*) z n — in — / —-—— übergeht und so wieder als be-
* n J 1+**
/ /jjW ^ rjß
— ; —— erscheint.
i + x Schlesinger.
[81.]
Curvam (elasticam) lemniscatam a
/ dit
v/(i-^ 4 T
pendentem perscrutari coepi.
[1797] lan. 8.
Damit stimmt überein die auf dem letzten Blatte der Scheda Ac befindliche Notiz: »Functiones lem-
niscaticas considerare coeperamus 1797. Januar. 8.«, siehe oben S. 206. Daß Gauss schon früher die Um
kehrung des lemniskatischen Integrals in eine Reihe entwickelt hatte (siehe den art. [6.] der Exercitationes
mathematicae, oben S. Ul), steht mit diesen Angaben nicht im Widerspruch, sondern zeigt, daß Gauss erst
am 8. Januar 1 797 die volle Bedeutung des lemniskatischen Integrals erkannt und es zum Ausgangspunkte
einer selbständigen Theorie gemacht hat, während es ihm früher nur als ein einzelner Fall des allgemeinen
Integrals
/ dx
y/ ( i — x n )
erschienen war (siehe die Tagebuchaufzeichnungen Nr. 32 und Nr. 3 3 vom September 179 6), Die wahre
Eigenart des Falles n — 4 hat Gauss durch Anwendung des EuLERschen Additionstheorems erkannt;
dies zeigen die oben S. 147 ff. in den artt. [4.]—[7.] abgedruckten Leistenotizen. Daß diese Notizen mit den
am 8. Januar 179 7 begonnenen Untersuchungen in Verbindung stehen, geht auch schon aus dem äußerlichen
Merkmal hervor, daß hier wie dort in der Überschrift das Wort elastica durchstrichen und an seine Stelle
lemniscata gesetzt ist.
Klein. Schlesinger.
[52.]
Criterii EuLERiani rationem sponte detexi.
[1797] lan. 10.
Die beiden folgenden Notizen Nr. 53, 54 (vergl. auch Nr. so) zeigen, daß es sich um das EuLERsche
ü
(richtiger NEWTONsche) Kriterium für die sogenannten binomischen Integrale f x m ~' i [a -f- bx n ) v dx handelt.
Siehe Euler, Institutiones calculi integralis I, 17 68, § 104, Opera omnia, ser. I, vol. n, S. 6 2,
Schlesinger.
*) Für n = 4 ist diese Substitution bei S. 27 des Leiste ausgeführt; ebenda bei S. 104 finden
sich mit der Überschrift »Untersuchungen über das Integral y = I —— « Reihenentwick-
J yil-x*)
lungen und numerische Rechnungen.
