1797 IAN. 1 9 — 1797 febr. 16.
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Werke I,
= l und
m durch
tels in b
[MANN.
ra. . . .
4.
e, Werke
¿LEIN.
ist p ein
.MANN.
[68].
Amplificatio prop[ositionis] pennlt[imae j pjaginae] 1, scilicet
1 — a -f- a à — a e + a 10
1+-^
i +
i +
i +
i +
a 5
1 -{- etc.
Unde facile omnes series, ubi exp[onentes] ser[iemj sec[undi] ordinis con
stituunt, transformantur.
[1797] Febr. 16.
Die »Propositio penultima« der ersten Seite des Tagebuchs, auf die hier Bezug genommen wird, ist
das erste Beispiel der Notiz Nr. 7 vom 24. Mai 1 796, das für a = 2 aus der hier angegebenen Formel
hervorgeht. Eine Umformung, die der hier von Gauss aufgezeichneten nahe verwandt ist, findet sich ohne
Beweis in einem Theorema betitelten Aufsatze von G. Eisenstein *) ; beide Umformungen sind als besondere
Fälle in einer Gleichung enthalten, die Eisenstein in der Abhandlung Théorèmes sur les formes cubiques
etc. **) ebenfalls ohne Beweis angegeben hat. Ein Beweis dieser ElSENSTElNschen Gleichung kann aus einem
Briefe von Stieltjes an Hbrmite ***) entnommen werden. Die GAüsssche Umformung ergibt sich in fol
gender Weise aus den oben S. 492 in der Bemerkung zu der Notiz Nr. 7. angegebenen allgemeinen Formeln.
Setzt man daselbst in (3) und (6)
so ist
M + i )
= r (t + 2)
c 3 = r'
+ 3) 2
An _ r i*»(¥+ 2 w—2) I г (г -f- fc— 2) 2 1
B n = Г*™ (I + 2 n ~ 2) I r (* + * - 2 ) 2 I
[i,Tc= 1, 2, ..., П),
(*, к — i, 2, ..., n],
und für die als Faktor auftretende Determinante findet man -[•)
| f (* + fc-2) , | = ,.«(« - l] a (,.2_ 1} « -1 f } .4_ J 2 ... ( r 2 « - 2 _ t ) t
Die Ausdrücke (5) und (4) oben S. 492 ergeben also
b 0 = r*, b 2n = 1), b m+1 = [n = 0, i, 2, ...),
was nach Unterdrückung des Faktors r £ in Reihe und Kettenbruch für x — i, r 2 = a mit der Forme
*) Grelles Journal f. Mathematik 29, 1846, S. 96, Mathematische Abhandlungen von G. Eisenstein,
Berlin 1847, S. 175; vergl. auch die zweite Fußnote auf der folgenden Seite.
**) Grelles Joumal f. Mathematik 27, 1844, S. 75, siehe besonders S. 78.
***) Siehe Correspondance d’Hermite et de Stieltjes II, Paris 1905, S. 423—425, vergl. auch das
Briefbruchstück Nr. 387, S. 340.
f) Vergl. Stieltjes, a. a. O. S. 424, Gleichung (у).
Xl.
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