1797 FEBR. 16 — 1 797 MART.
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so daß die Beziehung zwischen den Integralen (l) und (2) auf die bekannte Gleichung zwischen den Euler-
m
sehen Integralen hinauskommt, die Euler in der Abhandlung Evolutio formulae integralis f x f ~' dx Ix) n
integratione a valore x = o ad x = i extensa*) angegeben hat, und die in den jetzt üblichen Bezeichnungen
so lautet:
B [p,q] =
r (jg) T (g) _
r ip + q) ’
vergl. auch den art. 28. der GAUSSSchen Abhandlung circa seriem vom Jahre 1812, Werke III, S. 251.
Schlesinger.
[60.]
Cur ad aequationem perveniatur gradus nn tl dividendo curvam lemnis
catam in n partes.
[1797] M[a]rt. 19.
Während der Grad der Gleichung, von der die Teilung des Kreises in n gleiche Teile abhängt, gleich
der Anzahl der Teile ist, so ergab sich für die mit Hilfe des EULERSchen Additionstheorems gebildete Glei
chung, von der die Teilung der Lemniskate in n Teile abhängt, der Grad gleich n 2 . Der Grund hierfür,
d. h. die Bedeutung nicht nur der n realen, sondern auch der n 2 — n komplexen Wurzeln **), ergibt sich
nur aus der doppelten Periodizität der lemniskatischen Funktion. Gauss hatte also am 19. März
1 797 bereits die doppelte Periode entdeckt. Damit war ihm der Weg eröffnet zur Auffindung der Null
stellen und Unendlichkeitssteilen von sinus und cosinus lemniscaticus und zur Darstellung dieser Funktionen
als Quotienten doppelt unendlicher Produkte; siehe die oben S. 153 ff. in den art. [2.]—[6.] abgedruckten
Leisteaufzeichnungen. Ferner fand er sich genötigt, seine Funktionen auch für komplexe Werte des Argu
ments zu betrachten. In der Tat findet sich auf dem letzten Blatte des Tagebuchs, mit dem etwas ver
wischten, aber noch deutlich erkennbaren Datum »1797, Apr. 15.«, also im unmittelbaren Anschluß an die
in den Tagebuchnotizen Nr. 60 bis Nr. 6 3 angezeigten Entdeckungen, die Aufzeichnung:
Quantitates imaginariae: Quaeritur criterium generale, secundum quod
functiones plurium variabilium complexae ab incomplexis dignosci possint.
Zur Lemniskatenteilung selbst vergi, die oben S. leoff. im Abschnitt [III.] zusammengestellten Auf
zeichnungen, ferner die Tagebuchnotiz Nr. 6 2, und die berühmte Stelle im art. 3 3 5. des siebenten Abschnitts
der Disquisitiones arithmeticae (1801), Werke I, S, 412, 413.
Schlesinger.
[ei.]
A potestatibus Integ[ralis]
f (0...1)
j vdi~ x ) v
*) Novi Commentarii Acad. Petrop. 16 (1771), 17 72, S, 91, L. Euleri Opera omnia, ser. I, vol. 17,
S. 316, siehe insbesondere § 25, S. 330 und das Supplementum, S. 364 der Opera.
**) Vergl. oben S. 162 das »Determ. rad. imag.« für die Fünfteilung. Im Text der Tagebuchaufzeich
nung hieß das zweite Wort (vergl. die Nachbildung) ursprünglich plures; Gauss wollte also etwa schreiben:
Warum mehr als n Wurzeln vorhanden sind u.s.w.
