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TAGEBUCH MIT ERLÄUTERUNGEN. 
pendet 
mm -f- 6mn -f- nn \ k 
{mm + w«! 1 
Es ist für positive ganzzahlige Werte von k 
rn 4 — 6m 2 n 2 -|-- n 4 ) k 
[1797 Mart.] 
8m = 2 
m 9 n 
(m 2 -f- n 2 ) 4 
i- s 
i 
+ 
m,n'—i) 4 (m — n\J— i) 4 > 
wo »?, w alle Paare ganzer Zahlen mit Ausnahme von rn = o, n = o durchlaufen. Hie S k lassen sich 
also in einfacher Weise durch die 
1 
Sk = 2 
(7c = 1, 2, 3, 
?)i% {m -\-n\J ) 4L 
ausdrücken, und von dieser Summe läßt sich leicht zeigen, daß sie sich von der jfc-ten Potenz der Größe 
n 
x 
/ 
dx 
V i-- 
nur durch einen rationalen Zahlenfaktor unterscheidet. Man braucht dazu nur auf die Formeln zurück 
zugreifen, die Gauss um dieselbe Zeit (März 179 7) in den Leiste eingetragen hat, und die in dem Ab 
schnitt [II.] über LemnisTcatische Funktionen, oben S. 15 3 iF. abgedruckt sind. Man nehme nämlich von den 
einzelnen Faktoren des doppelt unendlichen Produkts, das in der Darstellung von sinlemn x, oben art. [2.], 
1 
S. 153 den Zähler bildet, den Logarithmus, also 
log^i 
tenzen von 
{m -f- n \/ —!) 
_ Ai\ 
i)‘ n* j' 
entwickle diesen nach Po- 
m + n \J— l n ) 
! * 
und summiere in bezug auf m, n wie angegeben. Man erhält dann für den 
Logarithmus des Zählers von sinlemn x, abgesehen von dem Gliede log x, eine nach Potenzen von fort- 
i x i 
schreitende Reihe, in der der Koeffizient von —-- gleich s k ist. Vergleicht man diese Reihe mit der 
auf anderem Wege erhaltenen Entwickelung dieses Zählerlogarithmus (siehe oben art. [10.], S. 159 den »log. 
Numeratoris«), wo die Koeffizienten rationale Zahlen sind, so ergibt sich die Richtigkeit unserer Aussage. 
Man wird mit Sicherheit behaupten können, daß Gauss diesen Gedankengang verfolgt hat, da es sich so 
am ungezwungensten erklärt, weshalb Gauss damals gerade auch die Entwickelungen der Logarithmen von 
Zähler und Nenner des sinlemn x aufgezeichnet hat; vergl. auch die sehr viel spätere Aufzeichnung (auf 
S. 88 des Mai 1809 begonnenen Handbuchs 19, Be), die Werke III, S. 408 abgedruckt ist. Allerdings 
würde dann das mm-\- 6mn -f- nn in unserer Tagebuchnotiz als Schreibfehler für m* — 6m 2 n 2 + w 4 gelten 
müssen, was aber umso eher angeht, als die Größe 
m* — 6 m 2 n 2 -f- n* 
(m 2 -f- n 2 ) 4 
in dem Doppelprodukt oben S. 153 wirklich vorkommt und auch die Summe S t noch an zwei andern Stellen 
dieser Leisteaufzeichnung (oben S. 155, 1 56) erscheint. Gauss würde dann hier zum ersten Male in der 
Entwicklungsgeschichte der elliptischen Funktionen die Klasse von Reihen betrachtet haben, die in allge 
meinster Form in Eisensteins Abhandlung Genaue Untersuchung der unendlichen Doppelproducte, aus 
welchen die elliptischen lunctionen als Quotienten zusammengesetzt sind*] auftreten. 
Klein. Schlesinger. 
*) Grelles Journal für Mathematik 35, 1847, S. 15 3, Mathematische Abhandlungen, 1 847, S. 213.