1 797 mart.—1 797 mart. 29.
517
[62.]
Lemniscata geometrice in quinque partes dividitur.
[1797] M[a]rt. 21.
»Geometrice« heißt mit Zirkel und Lineal. Die Gleichung für die Fünfteilung siehe oben S. I6lff.
artt. [4.] und [5.], die algebraische Darstellung ihrer reellen Wurzeln ebenda und S. 16 3, art. [6.]. Vergi, auch
die bei der Nr. 6 0 angeführte Stelle der Disquisitiones arithmeticae, wobei jedoch zu bemerken ist, daß schon
der Graf Fagnano im II. Bande der Produzioni matematiche {Pesaro, 175o) r S. 356 ff.*) gezeigt hat, daß
die Lemniskate sich »algebraisch« in gleiche Teile zerlegen lasse, wenn die Anzahl der Teile in einer der
drei Formen 2.2 m , 3. 2 m , 5.2® enthalten ist, wo m eine positive ganze Zahl bedeutet. Anknüpfend an die
bei der Nr. 60 erwähnte Stelle der Disquisitiones arithmeticae und durch Anwendung der von Gauss für
die Kreisteilung geschaffenen Methode hat N. H. Abel in seinen Recherches sur les fonctions elliptiques
(Chelles Journal für Mathematik 2, 1827, und 3, 1828, Oeuvres, nouvelle édition, I, 1881, S. 261 ff.) nach-
gèwiesen, daß die Teilung der Lemniskate in n gleiche Teile für diejenigen Werte von n mit Zirkel und
Lineal bewirkt werden kann, für die dies beim Kreise möglich ist (siehe Oeuvres I, S. 314 und 3 61).
Klein. Schlesinger.
[63.]
Inter multa alia Curvam Lemniscatam spectantia observavi:
[!)] Numeratorem sinus decompositi, arcus duplicis esse =
2 Num. Denom. Sinus x Num. Denfoml. Cos. arcus simplficis];
[2) ] Denominatorem vero = (Num. sin.) 4 -f- (Denom. sin.) 4 .
[3) ] lam si hic denominator pro arcu % l ponatur 6, erit Denom [inatorj
sin arcus = b kk .
[4) ] lam
6 = 4,810480,
[5) ] cuius numeri logarithmus hyperbolicus est
= 1,570796 i. e. = 4-TC,
quod maxime est memorabile, cuiusque proprietatis demonstratio gravissima
analysées incrementa pollicetur.
[1797] Mart. 29.
Man findet die hier zusaramengestellten fünf Aussagen in den oben S. 156 ff. artt. [7.] und [8.] abge
druckten Leisteaufzeichnungen entwickelt. Setzt man wie a. a. O.
-, ALcp) i M<p)
sin lemn = ,+■ -, cos lemn cp = —,
r N{<f) T v(<p)
*) Opere matematiche del Marchese G. C. de’ Toschi di Fagnano, II, 1911, S. 304 ff. Metodo
per miaurare la lemniscata, Schediasma II.
