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TAGEBUCH MIT ERLÄUTERUNGEN. 
so ist 8 (o) = o und S (sc) in der Umgebung von x — o holomorph, üm einen bestimmten Fall vor Augen 
zu haben, nehmen wir an, daß a m+l negativ sei; für die bei Gauss vorliegende Form (u) von l[l-j-aj) 
tritt dies wirklich ein. Dann ist für hinreichend kleine positive Werte von x erstens 0 < x x < sc, und 
man kann zweitens x so klein wählen, daß |S (¿c){ < jST< l sei. Ein in dieser Weise abgegrenzter Bereich 
positiver Werte von x heiße G. Liegt x innerhalb G, so gilt also das gleiche von jedem und es ist 
folglich auch 18 [x t ) | < K< 1; wir haben also nach (i4) und (15) 
(16) 
(i + 4(8(ft) + steO + • •• + §’ 
i — ima m+l x m 
und da 
m ~T I ^ № H - ® (^i) + —t- s (®j_i) I < K < i 
ist, so folgt lim x™ — 0, also auch lim x t — 0. Für ein dem Bereiche G angehöriges x und ein be- 
t—>oo , «—>00 
liebig kleines positives s kann man also Je so groß wählen, daß für [8(flJi)]<s ist. Dann ist 
wo die rechte Seite für z--> oo den Grenzwert e hat. Schreibt man nun (16) in der Form 
l 
— (S (x) + § (Xi) + ••• + § 
rnci m +i -j- ma m+l 
so erkennt man, daß sich ix™ von beliebig wenig unterscheidet, wenn i hinreichend groß ge- 
»«•+1 
wählt wird. Es ist also, wenn x dem Bereiche G angehört, 
lim i.'t'JP' = — — 
oder etwas anders geschrieben 
(17) 
also insbesondere für den bei Gauss vorliegenden Fall (io) 
(18) 
Gauss hat für seine Funktion Z(l -f- ¿c) unzweifelhaft die Reihe (8) bezw. (9) formal aufgestellt und 
dabei den Grenzwert (18) vor Augen gehabt. Wie wir gesehen haben, folgt aus den Angaben unserer 
Tagebuchaufzeichmmg für l{i-\-x) nur die Form (ll). Daß tatsächlich nur der Ansatz (3) für die Dar 
stellung von l[\-\-x) in der Umgebung von x — 0 den Angaben der Tagebuchnotiz entspricht,'geht daraus 
hervor, daß für den Ansatz 
(3)' 
■ l (1 + x) — a x x + x 2 -j- • • •, 
wo c«! 1 ist, also für die Differenzengleichung 
X i+l = + ««»*+•••, 
(5)' 
wenn o < | a t | < i vorausgesetzt wird, nach Koenigs (Recherches sur les intégrales de certaines équations