1798 IUL, 
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[92.] 
De lemniscata, elegantissima omnes exspectationes superantia acquisivimus 
et quidem per methodos, quae campum prorsus novum nobis aperiunt. 
Gottfingae, 1798] Iui. 
Die hier angezeigten Ergebnisse finden sich in der Scheda Aa, die im Juli 1798 begonnen worden ist. 
Unter der Überschrift: Scheda prima. Be curva lemniscata beginnt S. 3 der Scheda eine Zusammenfassung 
älterer Formeln, die im wesentlichen Werke III, S. 413—4 15 bis dahin, wo es heißt »Spätere Bemerkung« 
(diese stammt aus dem Handbuch 16, Eb, S. 7 2), abgedruckt ist. Das eigentlich Neue beginnt auf S. 6 der 
Scheda mit den Worten: 
»Si valores sc [i. e. sinuscirculi], qui reddunt ipsum sl [i. e. sinumlemnis- 
caticum] = 0 secundum regulas notas productum infinitum generare concipi 
untur, nec non valores ipsius sc qui reddunt ipsum sl = oo « 
u.s.w., wie Werke III, S. 415, beginnend im art. [4.], gedruckt ist. Gauss knüpft also unmittelbar an die 
in der Nr. 9 ib des Tagebuchs und in der Aufzeichnung oben S. 168, art. [4.], gegebenen Ansätze an, wonach 
sin lemn cp als Funktion von s — sin cp betrachtet wird. Aus der Kenntnis der Null- und Unendlichkeits 
stellen von sin lemn cp und cos lemn cp (siehe oben S. 153 ff., die artt. [2.], [5.], [6.]) ergeben sich dann un 
mittelbar die Werte von s, die diesen Stellen entsprechen, in der Form von Exponentialgrößen, wie wir sie 
in den Ausdrücken für Pep, Qcp, pcp und gep Werke III, S. 416 auftreten sehen. Pep ist die oben S. 168, 
art. [3.] und S. 17 0, art. [6.] eingeführte Funktion; vergl. Werke III, S. 416, art. [5.], eine Aufzeichnung, die 
jedoch nicht aus der Scheda Aa, sondern von losen Zetteln aus späterer Zeit stammt. 
Die jetzt gewonnene Darstellung von Pep, Qcp in der Form einfach unendlicher Prr dukte liefert auch 
die in der Tagebuchnotiz Nr. 6 3 (vom 29. März 1797) gemeinte demonstratio des damals uw durch Induktion 
gefundenen Resultats (vergl. auch oben, S. 158 letzte Zeile) 
Tt 
0 = Nm = e 2 , 
sie brachte also wirklich, wie Gauss damals voraussagte, gravissima analyseos incrementa mit sich. Daß 
Gauss diese Bestätigung sofort vorgenommen hat, zeigt eine in der Scheda Aa aufgezeichnete, aber Werke 
III nicht mit abgedruckte Tafel der Werte von e" ^ u und e " ^ ‘‘ für Je = 1, 2, 3, 4, 5, 6 und dann S. 8—13 
der Scheda die Werke III, S. 431, beginnend mit »Pcce iam computum pro e : r « bis S. 432 abgedruckte 
sehr genaue Berechnung von e*~ und e~ * ,L . Dazwischen steht (noch auf S. 7 der Scheda) die Werke III, 
S. 417, art. [6.] wiedergegebene Partialbruchdarstellung und (auf S. 8 der Scheda) die den Schluß des art. [6.] 
bildende Entwicklung des sinuslemniscaticus, und zwar in der Form: 
sl cp = — 
* m 
\ TC - 
_1_ g 
sc cp 
? u 
sc 3cp etc. 
Es)'ist dies also genau die in der Nr. 9lb und oben S. 108 gegebene Entwicklung von sin lemn cp nach den 
Sinus'der Vielfachen von cp, nur erscheinen die Koeffizienten, die dort bloß numerisch angegeben waren, 
hier in'einer das allgemeine Gesetz aufzeigenden analytischen Form. Aber auch hier hat Gauss auf beiden 
Seiten'der Gleichung cp im Gradmaß gedacht (vergl. die Bemerkung bei der Nr. 91); beim Abdruck Werke 
III, S. 417 hat der Herausgeber Schering beiderseits auf Bogenmaß reduziert; die von ihm mit cp bezeich-