1798 iul. — 1 798 oct.
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erhalten. Eg gelingt dies zunächst in der Weise, daß die Koeffizienten numerisch gefunden werden; so
steht z. B, auf S. 2 5
Pep =
0,8346268416
7 407 316.4 sin cp
+
62694861
2 274 007.5 (sin cp) 3
1
874
5 689 900.5 (sin cp) 5
+
238.56 (sin cp) 7 ,
wo, wie S. 24 bemerkt wird, der Koeffizient von sin cp nichts anderes ist als —, und daraus wird nun weiter
7C
die Form
Pep = 0,8 393 290 1 09 26 691 403 sin cp
— 15 673 988 60 966 741 sin 3cp
+ 54 66 056 449 sin 5cp
— ... 3 7 sin 7 cp
gewonnen. Das Gesetz der Koeffizienten in dieser Entwicklung und in der analogen für $cp scheint Gauss
durch numerische Induktion gefunden zu haben, das zeigen die auf S 29—3 3 befindlichen Rechnungen für
e~ e —7C , e~~ l7t . Auf S. 27 und 28 stehen die Werke III, S. 418 im art. [8.] abgedruckten Formeln
für sinlemncp, Pep, Qy*). Diese endgültigen Darstellungen von P, Q:
hat Gauss wohl durch Einsetzen in die auf S. 2 3 der Scheda aufgezeichnete Gleichung
d P _ 1 dP P dQ _ ./( P*\
[dcp] Q 'Q dv " QQ dcp VI Q*l
QP'-PQ' = V(Q 4 -P 4 )
bestätigt (vergl. auch die Leistenotiz oben S. 167, art. [2.]).
Die angegebenen Reihen für P, Q liefern auch sofort die S. 28 der Scheda unmittelbar anschließend
(wie in dem Abdruck Werke III, S. 418, art. [8.]) aufgezeichneten Reihen
(**)
VI
VI
i - 2 e " + 2 e i ,k - 2 e 9 71 +
— -J- 7C
■> k
+ e 4 +e * 4 4 ,
die den Zusammenhang hersteilen zwischen der lemniskatischen Periode und den nach Potenzen von e
bezw. e _4r1T fortschreitenden Reihen, deren Exponenten die Quadratzahlen sind. Die auf S. 2 0 der Scheda
stehende Aufzeichnung **)
*) Auch bei diesen ist im Abdruck beiderseits auf Bogenmaß reduziert.
**) Vergl. oben S. 27 7.
Xi.
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