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TAGEBUCH MIT ERLÄUTERUNGEN.
»Investigatio factorum progressionis infinitae
i -j- x + я 3 + + ic 10 + х 15 4- я 21 + e tc. = ä«
zeigt, daß Gauss durch die Entdeckung der beiden Reihen (**) veranlaßt worden ist, seine älteren
Untersuchungen über Potenzreihen, deren Exponenten eine arithmetische Progression zweiter Ordnung bilden,
zu vergleichen. Von solchen Untersuchungen liegen Spuren vor im art. [9.] der Exercüat. mathem. (1796),
oben S. 142, in der Tagebuchnotiz Nr. 58 vom 16. Februar 1797, die wieder auf Nr. 7 vom 24. Mai 1796
zuröckweist, und in einer mündlichen Überlieferung (Werke III, S. 493, Zeile 3—6), wonach Gauss die Be
ziehungen zwischen dem arithmetisch-geometrischen Mittel und den Potenzreihen, deren Exponenten Quadrat
zahlen sind, schon 1794 gekannt haben soll. Gauss konnte also hier einen Zusammenhang zwischen der
lemniskatischen Periode und dem arithmetisch-geometrischen Mittel vermuten, einen Zusammenhang, der
ihm in der Tagebuchnotiz Nr. 9 8 vom 30. Mai 17 99 zur Gewißheit geworden ist (certo aperietur heißt
es dort, gleichsam als Bekräftigung des hier stehenden . . . nobis aperuit).
auf 2 6 Dezimal-
Die Reihen (•&*) hat Gauss in der Tat sofort dazu benutzt, um den Wert von
stellen zu berechnen (S. 28 der Scheda, mit Änderung der Reihenfolge abgedruckt Werke III, S. 418, 419,
art. [8.]), und auf einem etwa aus derselben Zeit stammenden Zettel (in Eh, Nr. 2, Kapsel 5 0, demselben,
auf dem die Werke III, S. 420, art. [l 2.] abgedruckten Reihen aufgezeichnet sind) wird diese Zahl ins Qua-
drat erhoben*), also
vermittels der ins Quadrat erhobenen Reihen (**) berechnet. Die Vergleichung von
mit der z. B. im Leiste (siehe oben S. 176, Gl. [6.]) aufgezeichneten Reihe
/1 3, 25 \ 2
4 [z* -f- Z* -f- -j j
liegt dann sehr nahe; sie stimmen für z = e~' z ~ überein.
Als die der Notiz Nr. 9 5 zugrunde liegenden Entdeckungen können wir also ansehen: Die Aufstellung
der trigonometrischen Reihenentwicklungen für den Zähler und Nenner des sinus lemniscaticus, die im
wesentlichen mit den jACOBischen Thetafunktionen für den lemniskatischen Fall übereinstimmen, die Dar
stellung der lemniskatischen Periode durch Reihen, deren Exponenten die Quadratzahlen sind und mög
licherweise hieran anschließend die Wiederaufnahme der Untersuchungen über das arithmetisch-geometrische
Mittel (vergl. oben S. 172 ff. und die zugehörigen Bemerkungen S. 260, 261). Auf den von Gauss bei der
Entwicklung der Theorie der lemniskatischen Funktionen 1798 eingeschlagenen Weg wirft die Bemerkung ein
helles Licht, die Gauss in dem oben S. 248 abgedruckten Briefe an Bessel vom 30. März 1828, in bezug
auf Abel macht. Vergl. die Abschnitte III und IV des Aufsatzes »Über Gauss’ Arbeiten zur Funktionen
theorie«, Werke X 2.
Klein. Schlesinger.
*) Es heißt dort:
Evectio numeri 0,91 357913815611 682 140724 ad quadratum
und als Ergebnis der Rechnung
03
0,8 346 268 416 740 731 872 812 057 352 513.
TZ
