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TAGEBUCH MIT ERLÄUTERUNGEN.
[105.]
Theorian quantitatum transcendentium:
/
dx
y/(l — axx) (1 — üxoc)
ad summam universalitatem perduximus.
Brunov[ici, 1800] Mai. 6.
Die Aufdeckung des Zusammenhangs zwischen dem agM. und dem vollständigen elliptischen Integral
erster Gattung, sowie die in dem besondern Falle der lemniskatischen Funktionen gewonnenen Einsichten,
führten Gauss zu der Erkenntnis, daß die Größen
(*)
c e
M[ 1, s)
(s = \/l — c 2 )
(siehe den art. [7.], oben S. 190, aus Scheda Ac, S. 13) für das elliptische Integral mit dem Modul s die
analoge Rolle spielen, wie die Größe
l 03
M{\fi, i) ~ « '
auf die sie sich für s = \J\ reduzieren, für die Lemniskate. Daß Gauss’ Auffassung dieser Größen (der
Periodizitätsmoduln) dem neuern Standpunkte sehr nahe gewesen sein muß, zeigt die folgende Aufzeichnung,
die sich auf einem Zettel ohne Datum findet;
Der Radicalfehler, woran meine bisherigen Bestrebungen, den Geist der
elliptischen Function zu verkörpern, gescheitert sind, scheint der zu sein,
dass ich dem Integral
die Bedeutung als Ausdruck eines endlichen Theils der Kugelfläche habe
unterlegen wollen, während es wahrscheinlich nur einen unendlich schmalen
Kugelsector ausdrücken soll.
Offenbar bedeutet hier die »Kugelfläche« den Ort der komplexen Veränderlichen, der »endliche Theil«,
dessen »Ausdruck« das Integral (•&*) sein sollte, den Fundamentalbereich oder das Periodenparallelogramm;
wenn dann Gauss von »einem unendlich schmalen Kugelsektor« spricht, so zeigt dies, daß er damals, als
er diesen Zettel schrieb, es für wahrscheinlich hielt, daß man die reellen Größen (*) selbst, oder genauer
(vergl. oben S. 194 Gin. [1])
2 t: 2 t:
als die Periodizitätsmoduln des Integrals (•&*), für e reell und kleiner als Eins, anzusehen habe. Am
6. Mai hatte er sich zur völligen Klarheit über diese Verhältnisse durchgerungen, und damit war der Weg
frei für weitere Fortschritte. Vergl. den Abschnitt IV des Aufsatzes »über Gauss’Arbeiten zur Funktionen
theorie«, Werke X 2.
Klein. Schlesinger.
