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TAGEBUCH MIT ERLÄUTERUNGEN.
[109.]
Inter duos numeros datos semper dantur infinite multi termini medii tum
arithmetico geometrici tum harmonico geometrici, quorum nexum mutuum ex
asse perspiciendi felicitas nobis est facta.
[1800] lunio 3. Brunov[ici]
Eine mit dieser Notiz gleichzeitige Aufzeichnung, die sich auf die unendlich vielen Werte des agM.
bezieht, ist uns nicht erhalten. Dagegen steht der »nexus mutuus« auf einem Zettel, der oben S, 218 ff.,
art. [2.]—[6.], abgedruckt ist, und der schon durch das Wasserzeichen EHE 18 10 auf eine wesentlich spätere
Zeit verwiesen wird; er dürfte [vergl. die Bemerkungen oben S. 2 82) etwa 18 25 geschrieben sein. Die hier
in Betracht kommende Stelle ist namentlich die Formel
4 ik
l
X ’
wo
;j. = M{m,n), X = M{m,\]m 2 — n 2 )
ist und (p.) einen der Werte bedeutet, die man für das agM. zwischen m und n erhält, wenn man »für ein
n', n", ri" etc. einen negativen Wert wählt«. Die Formel (*) setzt überdies voraus, daß wenn der reale
Der Weg, auf dem Gauss zu diesem Ergebnis vorgedrungen ist, kann, da Aufzeichnungen aus der Zeit der
Entdeckung fehlen, nicht mit voller Sicherheit angegeben werden. Die Aufzeichnung von 1825 weist darauf
hin, daß Gauss die Formel (*) wohl aus der Darstellung der m. n, \/m 2 — ri 2 mit Hilfe der Thetanullreihen
p, q, r gefunden hat (siehe besonders den art. [6.] oben S. 222, 223, wo der allgemeinste Wert von
M aufgestellt wird, für den = — ungeändert bleibt). Die Wendungen »ex asse perspiciendi« und das
sonst nur bei zahlentheoretischen Ergebnissen vorkommende »félicitas nobis est facta« (siehe die Nummern
30, 7 3, 1 1 4, 1 41 des Tagebuchs) geben der Annahme Raum, daß Gauss auch sogleich die Beziehungen
zur Theorie der binären quadratischen Formen durchschaut haben wird.
Das harmonische Mittel zwischen zwei Zahlen m, n ist durch die Gleichung
2 mn
m 1 — j—
m + n
erklärt. Der Algorithmus des harmonisch-geometrischen Mittels ist demnach;
(■/■ = 0,1,2,...; m 0 = m, n 0 — n],
so daß sich
lim m x — lim n x
M[a, b)
ergibt, wodurch das harmonisch - geometrische Mittel auf das agM. zurückgeführt ist*). In der Scheda Ac
findet sich auf S. 20 die folgende Notiz:
*) Vergl. Th. Lohnstein, Zeitschrift für Math, und Physik 83 (18 88), S. sie.
