654 TAGEBUCH MIT ERLÄUTERUNGEN. 
X 
ff 
9 X 
9'"<27 
0 
0 
1 
1 
T = 0 ’ 5 
2—2/2 =0,6 137 
0,5748 
j- = 0,333 ... 
3--|^3-~= 0,4 451 818 
y = 0,666 ... 
|-| ?3 + VT2 = 0 ’ 7 590 
Tam complicatae evadunt, ut nulla spes superesse videatur. 
Dazu ist folgendes zu bemerken. Wenn die erste Stufe der Kettenbruch entwicklung des positiven 
echten Bruches M 
M = 
a -f- p. 
ist, wo a' eine positive ganze Zahl und p wieder einen echten Bruch bedeutet, so können die positiven 
echten Brüche M nach den Werten von a' in Klassen eingeteilt werden und die Werte einer Klasse 
werden in abnehmender Folge durchlaufen, wenn p von o einschließlich bis l ausschließlich wächst; es 
-1—, dessen Länge — ^— ist. 
+ i «' a' -f- i 
Nach der Fragestellung von Gauss werden jetzt die Zahlen herausgehohen, bei denen p zwischen o 
und x liegt, wo ö<ic<l. In der Klasse «' sind dies die Zahlen zwischen -i- und . Sind diese 
a' a! -f- x 
i i 
gleich wahrscheinlich, so liefert also das Intervall den Beitrag , und da das Gesamtintervall 
a' a' + x 
der Werte M die Länge l hat, so ergibt sich für die gesuchte Wahrscheinlichkeit in Übereinstimmung mit 
der Gleichung [3] auf voriger Seite 
sind die Zahlen des Intervalls von —- bis — 
a a 
(5) 
P{ 1,®) = <p"(«) 
2 i., 
a' = 1 ( a 
a' + x 
wenn (vergl. die Disquis. circa seriem, 1812, Werke III, S. 15 3) 
d log II [x] 
j = T(*)-T(o), 
'F (aj) = 
dx 
die logarithmische Ableitung der GAUSSSchen 0-Funktion bedeutet. Damit ist die Angabe von Gauss in 
dem Briefe an Laplace (siehe oben S. 372), daß P(i,£c) von der inexplikablen Funktion Eulers 
i -j—-—|—-—f - 
2 1 3 
+ 
abhänge, bestätigt. 
Beim nächsten Schritt wird 
M 
a"+v 
gesetzt, wo a', a" ganze, positive Zahlen sind und v einen echten Bruch bedeutet. Man findet