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TAGEBUCH MIT ERLÄUTERUNGEN.
Beziehungen liefert
h (l . hp ... h z
n
= K.v ß ...v t .
Da sich das Produkt h a . hp ... h- als durch n teilbar erweist, trifft dies umsomehr für das Produkt
der Grade aller Hilfsgleichungen X x — o, X 2 = 0, .. ., X*. = o zu, und damit ist unser Satz bewiesen.
Der bequemeren Ausdrucksweise wegen wollen wir unter einer Gleichungskette Xi = o,
X 2 — O, ..., X k — 0 für p x , p 2 , ..., p ft ein Gleichungssystem verstehen, bei dem p; [i = l, 2, ...,1c) stets
Wurzel von X,- = o ist und Xi = 0 Koeffizienten aus dem ursprünglichen Rationalitätsbereiche P, X 2 = 0
aus dem durch pi erweiterten, u.s.w. schließlich X k = o aus dem Bereiche (P, pj, p 2 p Ä-1 ) besitzt. Die
Irreduzibilität der Gleichungen X» = o in den Rationalitätsbereichen, denen ihre Koeffizienten angehören,
wird hier nicht vorausgesetzt.
Wir ziehen nun aus unserem Satz die folgenden Schlüsse:
Corollar I. Die irreduzible Gleichung J[x) — o mit Koeffizienten aus P habe den Grad
n = Pi-Pi ■ ■ ■ P/, wobei Pi, p 2 , ..., p f lauter (auch eventuell gleiche) Primzahlen bedeuten. Es sei eine
Gleichungswurzel irgendwie als rationale Funktion von Größen p x , p 2 , ..., p ft mit Koeffizienten aus P
mittels einer Gleichungskette Y t = o, Y 2 = o, ..., Y k = 0 für p x , p 2 , ..p k dargestellt, und man ersetze
jede Hilfsgleichung Y t — o, die in dem Rationalitätsbereiche (P, p x , p 2 , ..., p,-^), dem ihre Koeffizienten
angehüren, reduzibel ist, durch die irreduzible Gleichung X t - = 0, der p,. genügt, also durch eine Gleichung
von niedrigerem Grade. Dann ist für das so gebildete Gleichungssystem, das wir mit X x = o, X 2 = 0, ...,
X k = o bezeichnen, nach unserem Satze erstens das Produkt der Grade aller Gleichungen X { — 0 [i = l,
2, ..., 1c) durch Pi.p 2 ■•■P/ teilbar, und zweitens enthält dieses System mindestens /’Gleichungen der Grade
Pi,p 2 , • • •) P/ oder wenigstens eine Gleichung, deren Grad eine zusammengesetzte Zahl ist. Diese zusammen
gesetzte Zahl ist wenigstens durch eine und, wenn &</’ ist, sogar durch zwei der Primzahlen Pi,p 2 , •••,Pf
teilbar.
Alles dies ergibt sich unmittelbar aus der Tatsache, daß das Produkt der Grade von X x = 0, X 2 = o, ..,,
X^ = 0 durch Pi-P 2 ..-Pf, den Grad von J[x) = o, teilbar ist und Pi,p 2 , ..., p f lauter Primzahlen sind.
Corollar II. Hat man eine Wurzel der im Rationalitätsbereiche P irreduziblen Gleichung
J[x] = 0 vom w-ten Grade mittels einer Gleichungskette X x = 0, X 2 = 0, .. ., X k — 0 für die Größen
Pu p 2 , . •p* durch diese Größen rational mit Koeffizienten aus P dargestellt und ist das Produkt der Grade
aller Gleichungen der Kette gleich n, so sind die Gleichungen X,- = 0 [i = l, 2, ...,1c) in den Bereichen,
denen ihre Koeffizienten angehören, irreduzibel. Sind weiter hierbei noch die Grade aller Gleichungen der
Kette Primzahlen p u p 2 , ..., p k , so kann man nicht unter die Grade der Gleichungen X x — o,
X 2 = 0, ..., X k — 0 heruntersteigen und nicht mit einer Kette niedrigerer Glei
chungen operieren.
Wäre nämlich, wenn das Produkt der Grade der Gleichungen der Kette gleich n ist, eine der
Gleichungen X,- = 0 reduzibel, so könnte man sie durch einen ihrer irreduziblen Faktoren ersetzen, wo
durch das Produkt der Grade der Hilfsgleichungen < n würde; dies stünde aber mit unserem Satze im
Widerspruch. Mithin erweisen sich die Gleichungen X ; = o ausnahmslos als irreduzibel. Sind ferner die
Grade der Gleichungen X x = 0, X 2 = 0, .,., X k = 0 Primzahlen p lt p 2 , ..., p k und ist pi .p 2 ... p k = n,
so besagt Corollar I, daß man nicht unter die Grade p u p 2 , ..., p k der Gleichungskette X x = o, X 2 = o, . ..,
X k = o herunter steigen kann.
Ist die Anzahl n der Teile, in die der Kreis geteilt werden soll, eine Primzahl und wird n — i
irgendwie zerlegt in n — 1 = a.ß... £, so führt Gauss im art. 35 2. der Disquisitiones arithmeticae, (Werke
I, S. 431) die Auflösung der Kreisteilungsgleichung X = 0, von der er im art. 341. (Werke I, S. 417) zeigt,
daß sie irreduzibel ist, zurück auf eine Gleichungskette X : = o, X 2 = o, ..., X k = o von den Graden
