1801 APR. 6. 
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a, ß, ..., C- Diese Gleichungen sind nach Corollar II in den Bereichen, denen ihre Koeffizienten angehören, 
irreduzibel. Wählt man die Zerlegungszahlen ot, ß, ..£ sämtlich als Primzahlen, so erfüllt die Gleichungs 
kette von Gauss sämtliche Bedingungen unseres Corollars II. Mithin ist die Behauptung der GAUSSSchen 
Tagebuchnotiz für einen Primzahlgrad, d. h. also die Behauptung des art. 36 5. der Disquisitiones arithmeticae 
(Werke I, S. 4 6 2) bewiesen. 
Im allgemeinen Fall, wo der Grad N — a a .W... ist und «,&,... lauter verschiedene Primzahlen 
bedeuten, gilt Folgendes; Die Kreisteilungsgleichung X — o vom Grade cp [N] — a“ -1 [a — l) bP -1 (6 — 1)... 
ist irreduzibel. Ihre Auflösung wird zurückgeführt auf die Hilfsgleichungen, die bei der Teilung des Kreises 
in a, b, ... Teile auftreten und auf a — l Gleichungen a-ten Grades, ß — 1 Gleichungen &-ten Grades u.s.w. 
Man kann also die Auflösung der Gleichung X = o auf eine Gleichungskette zurückführen, die nur Glei 
chungen vom Primzahlgrade enthält, und für die das Produkt der Grade gleich dem Grade cp (AT) von 
X= o ist. Nach unserem Corollar II ist es unmöglich, die Grade der Gleichungen dieser Kette 
zu erniedrigen, und jede andere für die Lösung von X — o benutzbare Kette würde min 
destens eine gleiche Anzahl von Gleichungen derselben Grade oder wenigstens eine Glei 
chung enthalten, deren Grad eine größere, zusammengesetzte Zahl ist. 
Gauss’ in den Disquisitiones arithmeticae art. 36 6. (Werke I, S. 4 63) enthaltene eigene Aussage für 
den allgemeinen Fall (quando vero [numerus cp(A T )] factores primos alios quam 2 puta p, p' etc. implicat, 
aequationes gradus p-ti, p'-ti etc. nullo modo evitari possunt) ist übrigens nicht so genau wie die obige und 
wie die von Gauss für den Fall einer Primzahlpotenz (a. a. O. tunc enim [si circulus in a Ci partes secandus 
est] praeter eas aequationes, quae ad sectionem in a partes requiruntur, necessario adhuc a — l alias a-ti 
gradus solvere oportet; etiam has nullo modo nec evitare nec deprimere licet), w r o nämlich nicht nur davon, 
daß die in cp [N] enthaltenen Primzahlen als Gradzahlen nicht vermieden bezw. nicht unterschritten werden 
können, sondern auch von ihrer Vielfachheit die Rede ist. Z. B. für die Teilung des Kreises in 3 2 .7 Teile 
könnte man, da cp (N) — 2 2 .3 2 ist, nach Gauss a. a. O. nur die Unvermeidlichkeit von Gleichungen zweiten 
und dritten Grades aussagen, während nach dem oben Bewiesenen zwei Gleichungen zweiten und zwei 
Gleichungen dritten Grades unvermeidlich sind. Vielleicht hängt dies damit zusammen, daß Gauss bei der 
Abfassung der Disquisitiones arithmeticae noch nicht im Besitz des Beweises für die Irreduzibilität der 
allgemeinen Kreisteilungsgleichung war, den er nach Nr. 136 des Tagehuchs erst am 12. Juni 180 8 ge 
funden hat. Das, was Gauss für den allgemeinen Fall in den Disquisitiones arithmeticae ausspricht (siehe 
oben), kann nämlich aus seinen Angaben für den Fall der Primzahlpotenz unmittelbar gefolgert werden. 
Denn, hat man die Kreisteilungsgleichung für den Fall N = a a . bP ... gelöst, so hat man sie auch für 
die in N enthaltenen einzelnen Primzahlpotenzen a a , bP, ... mitgelöst. Folglich sind nach Gauss’ Angaben 
über die Primzahlpotenzgrade die Primfaktoren von {a — \)a a ~ l bezw. (& — l)&i' J_1 u.s.w., d. h. alle Primfaktoren 
von cp(JV) = a a ~ l [a — i]bP~ l (& — 1)... als Gradzahlen unvermeidlich; inbezug auf die Vielfachheit versagt 
dieses Verfahren. Daß Gauss für die Primzahlpotenz auch die Vielfachheit genau bezeichnet, deutet darauf 
hin, daß er zur Zeit der Veröffentlichung der Disquisitiones arithmeticae die Irreduzibilität der Kreis 
teilungsgleichung für einen Primzahlpotenzgrad schon gekannt haben dürfte. In der Tat läßt sich diese 
durch eine leichte Abänderung des im art. 341. der Disquisitiones arithmeticae (Werke I, S. 417) enthaltenen 
Beweises für den Primzahlgrad erschließen, während für den allgemeinen Fall eines beliebigen Grades andere 
Hilfsmittel erforderlich sind. 
In den artt. 365. und 366. der Disquisitiones arithmeticae (Werke I, S. 462, 463) hat Gauss aus seiner 
allgemeinen Aussage über die Unvermeidlichkeit der durch seine Theorie gegebenen Hilfsgleichungen den 
Schluß gezogen, daß der Kreis mit Zirkel und Lineal nur dann in N gleiche Teile geteilt werden kann, 
wenn tp [N) = 2 Ä ist, d. h. wenn N von ungeraden Primteilern bloß solche von der Form 2™ -f- l und zwar