28 
VARIA. 
teiligten sich die Leser an der Lösung der Aufgabe. Freilich, die vollständige Reihe aller 9 2 Lösungen gab 
nur ein Leser, ein Blindgeborner, an (s. ebda, Bd. 15, Nr. 378 v. 28. Sept. 1850, S. 207). Alle diese 92 
Lösungen gab schon vorher Nauck selbst in Nr. 37 7 (Bd. 15, 21. Sept. 1850, S, 182), während er bei 
Stellung der Aufgabe nur 60 Lösungen besessen hatte. — Weiteres über die Literatur des Problems s. bei 
W. Ahrens, Mathematische Unterhaltungen und Spiele, Bd. I, 3. Aufl. 1921, S. 212. 
Eine Ausdehnung der Fragestellung auf andere Schachbretter: von n 2 Feldern [n — 4, 5, 6, 7, 9, 10, 
ll, 12 . . .) liegt nahe, und für die angegebenen, kleineren Werte von n sind die Lösungen ermittelt (siehe 
Ahrens, a. a. O., S. 225ff.). 
Über die acht, durch Drehungen und Spiegelungen ineinander übergehenden »Variationen« einer 
Lösung, von denen Gauss im zweiten seiner Briefe spricht und die sich unter besonderen Symmetrieverhält 
nissen auf 4, 2 oder l »reduzieren« könnten oder können, sei noch folgendes bemerkt: Eine Reduktion 
auf l kann freilich — nach Art der »Bedingungen der Aufgabe« — tatsächlich nicht Vorkommen. Vielmehr 
muss die Spiegelung zu jeder Lösung immer eine weitere, davon verschiedene Lösung hinzuliefern 
(Ahrens, a. a. O., S. 222 und 249). Auch eine Reduktion der 8 »Variationen« auf nur 2 ist im Falle des 
gewöhnlichen Schachbretts — und nur diesen Fall betrachtet Gauss ja — nicht möglich. Dagegen gibt 
es für andere quadratische Bretter solche »doppelt-symmetrische« Lösungen, wie man diese Lösungen mit 
der »Variationen«-Zahl 2 nennen könnte, sehr wohl, so beispielsweise bereits für n — 4 und n — 5 und viel 
leicht überhaupt für jedes n = * mod 4, ausgenommen n = 8 und n — 9 (vgl. Ahrens, a. a. O., S.'250/25l); 
über die Existenz »doppelt-symmetrischer« Lösungen s. insbesondre auch die Abhandlung von G. PoLTA 
bei Ahrens, a. a. O., Bd. II (2. Aufl.), S. 370 ff. 
Die Ausführungen von Gauss in dem dritten seiner Briefe dienen zu einem Teil der Widerlegung und 
Berichtigung der vorhergegangenen, wenig durchdachten Entwicklungen Schumachers. Dieser Teil des 
GAUSSSchen Briefes bedarf irgendwelcher Zusätze nicht; dagegen sei zu den sonstigen, bedeutsameren Aus 
führungen von Gauss in diesem Briefe folgendes bemerkt: Bekanntlich stellt die Gangart der Königin im 
Schachspiel eine Vereinigung von »Turm«- und von »Läufer« - Gangart dar. Sollen also die Forderungen 
unseres Problems erfüllt sein, so muss sowohl der »Turm«-, wie der »Läufer«-Angriff ausgeschaltet sein. In 
den GAUSSSchen Problemansatz (S. 2 5) — in die Schreibweise 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8—ist nun bereits die Un 
möglichkeit eines »Turm«-Angriffs hineingelegt, und es kann sich daher für Gauss nur noch darum handeln, 
auch den »Läufer«-Angriff auszuschalten, für den er ein arithmetisches Kriterium gibt. Eine invers 
korrespondierende Methode, bei der also durch die Wahl der Bezeichnungen der »Läufer«-Angriff ausge 
schlossen ist und bei der das Verfahren nun dazu dient, auch alle Fälle von »Turm«-Angriff auszuscheiden, 
gab S. Günther {»Zur mathem. Theorie des Schachbretts«. Arch. f. Math. u. Phys. 56, 1874, S. 281—292). 
Schliesslich noch ein Wort über die von Gauss für die Zwecke dieses Problems gewählte Felder 
notation; a-{-bi usw.! »Wie gern er [Gauss] mit dem »i« arbeitete«, so sagt Stäckel*), »zeigt übrigens 
auch sein Ansatz für das Problem der acht Königinnen, bei dem die Felder des Schachbrettes mit den 
Zahlen a-\-ib [а, b = 1, 2 ..., 8) bezeichnet werden«. Es ist im gründe allerdings ziemlich nebensäch 
lich, ob man sich unter dem »i« dieser GAUSSSchen Bezeichnung die imaginäre Einheit oder nur ein 
Symbol zur Scheidung von »Zeilen«- und »Spalten«-Notation vorstellt. Auf jeden Fall aber ist Gauss’ 
Bezeichnung, wie er selbst sagt, »elegant« und auch geeignet, in manchen Spezialuntersuchungen wertvolle 
Dienste zu leisten (s. Ahrens, a. a. O., Bd. I, S. 221, und Bd. II, 2. Aufl., S. 349). 
Die obigen Figuren 3, 4 weichen insofern von Gauss’ eigenhändigen Skizzen ab, als Gauss die 
Stellungen der Königinnen in den Eckpunkten eines quadratischen Gitters markiert, während sie hier in 
üblicher Weise in die Felder eines Schachbretts eingezeichnet wurden. Ahrens. 
*) P. Stäckel, G. F. Gauss als Geometer, Werke X, 2 Abh. IV, S. 69.