CHAPITRE V) 
Corollaire. — En effet. A a •+• 1 = A K -4* 1 v ' 
k est le p. g. c. d. considéré dans le théorème qui précède. 
362. — C'est une conséquence de la proposition qui précède. 
On peut d’ailleurs établir directement cette proposition comme suit : 
Si n était un nombre premier différent de 2, et, par suite un nombre 
impair, l’expression 2 n -f 1 serait divisible par 2 1 -f- 1 ou 3 et ne repré 
senterait un nombre premier que pour la valeur particulière n = l. 
Si n est un nombre de la forme a.b.c., les facteurs a, b, c étant impairs, 
on aurait : 
2>» | _ 2 ab - c -f 1 = (2 u ) be -f- 1 — (2 b ) ac -j- \ = (2 c ) aô 4- \ = 
— (2 ah ) c -f 1 =s= (2 nc ) b 4- 1 (2 l,c ) a + 1, 
ce qui montre que 2 n 4- 1 est divisible respectivement par 
2 a 4- 1, 2 h 4- -1, 2 e 4- 1, 2"* 4- i, 2 oc 4- 1 et 2 bc 4- 1. 
Enfin, si un seul des facteurs premiers de n était impair, tous les autres 
étant égaux à 2, l’expression se présenterait sous la forme 
et serait divisible par 2 2 " 4- 1 et par 2? 4- 1. 
863. — Soient a et b deux nombres entiers tels que l'on ait : 
(1) 
p 4- a 1 = b 2 . 
Un déduit de cette égalité 
p — b 2 — a- ~ {b 4- a) (b a), 
et p étant premier, on a forcément b -b a =p et b ~ a = 1, 
et 4 = £±i. 
d’où 
D’ailleurs jo est impair, donc ces deux nombres sont entiers. 
Si p n’est pas premier, bornons-nous au cas où il est impair. Alors on 
peut trouver un diviseur d de p différent de! tel que le quotient âep 
par d soit au plus égal à d ; soit q ce quotient. On satisfait alors à l’éga 
lité (1) en faisant 
d, b -f a = q ; 
b — a 
b — ^ 
d’où 
d et q étant tous les deux impairs, on a bien ainsi des entiers pour b et a, 
mais alors 
(> - ■ ■ ■- , puisque d>■ 1 et que q <C p.