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Donc un nombre premier jouit, à l’exclusion de tous les nombres 
impairs non premiers, de la propriété caractéristique énoncée. 
Remarques. — 1. Le cas de p = 2 fait exception. 
2. On peut déduire de ce théorème un moyen de reconnaître si un 
nombre est premier. 
On écrit la suite des nombres impairs : 
1, 3, 5, 7,9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 23, 27, 29, 31, ... 
et on prend une table des carrés des nombres entiers consécutifs. 
Soit 7 le nombre donné; en l’ajoutant aux carrés dans leur ordre, on 
trouve 8, 11, 16, ... ; on s’arrête dès que l’on a trouvé un carré parfait* 
7 i 
fourni par le carré 9. Ce nombre est le carré de 3 ou —-— ; donc 7 est 
premier. 
Soit, au contraire, le nombre 21. En l’ajoutant aux carrés dans leur 
ordre, on trouve 22, 23, ... ; on s’arrête dès que l’on trouve un carré 
, « 1 21 1 
parfait 25 qui est le carré de 5 ; or ici -—-— = —-— = 10. Comme 5 
est moindre que 10, on en conclut que 21 n’est pas premier. 
Opérons de même avec le nombre 11, nous trouvons ; 
12, 13, 20. 27, 30 
36 = 11 -h 23 et 23 = 3- = —- 1 j* 
donc 11 est premier. 
Prenons encore 27, l’acldilion des carrés nous donne : 
28, 31, 36 
36 = 27 + 9 ; 9 — 3 2 et 3 est plus petit que —- = 13, donc 27 n’est 
A 
pas premier. 
864. — Soit# 2 un carré entier tel que la différence x 2 — p représente 
aussi un carré entier y 2 . 
x 2 — p — y 2 d'où (x — y) (x 4- y) = p. 
p est premier absolu, donc on a nécessairement 
x — y — 1 et x -f- y — P 
d’où 
Pour tout nombre premier/? supérieur à 2, le carré 
et est le seul répondant à la question. 
est entier