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CHAPITRE VI 
Remarque. — Supposons p non premier, ce nombre peut alors se 
décomposer, au moins d’une façon, en un produit de facteurs tous deux 
différents de 1 ; soit p — a x b. 
L’équation x 2 — ab = y 2 
admet la solution x — , y — a ,y- • 
Or, on a identiquement 
4ab — (a + b)' 2 — (a — b) 2 = (p -f l) 2 — (p — l) 2 
et comme a <Cp, b y> 1, on a a — b << p — 1 
et, par suite, en vertu de l’égalité précédente 
a 4- b Cp 4- 1. 
Comme conséquence de ce qui précède, on peut affirmer qu'un nom 
bre p {p Ф 2) est premier si x 3 — p n'est jamais carré pour les valeurs 
de x inférieures à ^- ^ ^ . 
On a donc ainsi un procédé pour reconnaître si un nombre est premier. 
365. — m 2 et n 2 étant deux carrés compris dans la suite considérée, 
c’est-à-dire tels que Гоп ait m <^p et n <ip, on ne peut avoir 
m 2 = m' (2p + 1) + r, r < 2p 4- i 
et n 2 = n' (2p 4- 1) 4- r. 
II en résulterait en effet l’égalité 
m 2 — n 2 — (m' — n') (2p 4-1), 
ou (m -j- n) { m — n)= (m' — n') (2p -1- 1). 
Le produit (m 4- n) (m — n) serait donc divisible par 2p + 1, ce qui 
est impossible puisque ce nombre 2p \ est premier et plus grand 
que m 4- n. 
Problèmes 
366. — Trois nombres entiers consécutifs sont de la forme 
n, n 4-1. n 4-2. 
Les nombres « et n 4 1 sont premiers entre eux, ainsi que les nombres 
n 4- 1 et n 4- 2. Les trois nombres seront donc premiers entre eux deux à