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CHAPITRE VI 
Les nombres de la première forme abi, sont tous les nombres de deux 
chiffres suivis de 1, on en compte donc 
100 — 10 = 90. 
Mais sur ces 90 nombres, il faut en éliminer 
10 qui sont de la forme 1«1 
9 id. ail 
9 id. aa1 
et si l’on observe que le nombre 111 appartenant à chacune de ces trois 
formes a été ainsi éliminé trois fois, c’est-à-dire deux fois en trop, il reste 
90 _ 10- 9- 94-2 = 64 
nombres appartenant à la forme ab\. 
Le même raisonnement s’applique aux nombres des trois autres formes. 
On a donc en résumé 64 x 4 = 256 nombres répondant à la question. 
369. — Désignons par N le plus petit nombre répondant à la question. 
On aura évidemment N — 1 = K X 3 X 4 x 5 = K X 60; le fac 
teur K étant déterminé par la condition que N doit être un multiple de 7. 
Le problème revient donc à chercher le plus petit nombre K tel que 
K X 60 -f 1 = mult. 7 ; 
or 60 = mult. 7 + 4 ; 
par suite, l’égalité précédente se réduit à 
K X 4 -f- 1 = mult. 7. 
La valeur K = 5 est la plus petite qui satisfasse à cette égalité. 
Soit K' une autre valeur telle que 
R’ x I + 1 = mult. 7 ; 
on aura (K' — K) 4 = mult. 7, 
et, comme 4 est premier avec 7, 
K/ — K = mult. 7. 
Par suite, K' = o -f- n x 7, n pouvant prendre toutes les valeurs 
entières possibles. 
Ainsi le nombre N = o x 60 + 1 = 301 est le plus petit nombre répon 
dant à la question, et il en existe une infinité d’autres de la forme 
(5 4- n x.7) 60 4- 1, 
370. — En représentant par n le premier chiffre à gauche du nombre 
considéré, on a : 
n 4- {n — 1) 4- {n — 2) -f {n — 3) = mult. 9 
2 (2n — 3) = mult. 9. 
ou