NOMBRES PREMIERS 
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Or, 2 14 est évidemment le plus petit nombre de tous ceux de la première 
ligne horizontale ; 
2 2 ,3 4 est le plus petit nombre de tous ceux de la deuxième ligne hori 
zontale ; 
3 2 .2 4 est le plus petit nombre de tous ceux de la troisième ligne hori 
zontale, et ainsi de suite pour les diverses lignes horizontales, c'est-à- 
dire que, pour déterminer le nombre demandé, il suffit de comparer les 
nombres de la première colonne verticale 
Mais on voit de suite que Ton a 
3 2 .2 4 < 5 2 .2 4 < 7 2 .2 4 < ... ; 
donc, en résumé, le nombre cherché est 2 14 . ou 2 2 .3 4 , ou enfin 3 2 .2 4 . 
Or, 2 n est le plus grand que 2 2 .3 4 , car on a successivement 
2 3 >3, 
(2 3 ) 4 > 3 4 ou 2 12 > 3 4 , 
et 2 14 > 3 4 .2 2 . 
En second lieu, de l’inégalité évidente 3 > 2, on tire 3 2 >» 2 2 et, en 
multipliant des deux côtés par 3 2 .2 2 , 
3 4 .2 2 >• 2 4 .3 2 . 
Le nombre cherché est, par suite, 
2 4 .3 2 = 16 x 9 = 144. 
394. — Le p. g. c. d. des deux nombres cherchés admet 12 diviseurs, 
et comme il divise 360 il ne peut être constitué que par les facteurs pre 
miers de 360 affectés d'exposants au plus égaux. 
Or, 360 = 2 3 X 3 2 x 3. 
Cherchons parmi les diviseurs de 360 ceux qui admettent 12 diviseurs. 
Ce sont : 2 3 .3 2 = 72, car (3 4- 1 ) (2 + 1) = 12, 
2 2 .3 .3 = 60, (2 -f 1) (1 4- 1) (1 -t- 1) = 12, 
2 ,3 2 .o = 90, fl + 1) (2 + 1) (1 + 1) = 12. 
60, 72 et 90 étant les seuls p. g. c. d. admissibles pour les deux nombres 
demandés, la question revient à calculer ces deux nombres connaissant 
leur somme et leur p. g. c. d. 
360 
a) P. g. c. d, 60. — Le quotient = 6 représente la somme des quo 
tients obtenus en divisant les deux nombres x et ij par leur p. g. c. d. 
Ces quotients étant premiers entre eux ne peuvent être que 1 et 5. 
Donc ~ = 1, ^ = o, alors x = 60, y = 300. 
360 „ 
72 = 
S* 
b) P. g. c. d. 72.