874 
CHAPITRE VI 
A X B est divisible par D 2 , ce qui exige que M soit multiple de D, sans 
quoi le problème n’aurait pas de solution. 
Posons M = M' X D, alors A' x B' = M'. 
On obtiendra donc tous les systèmes de valeurs de A' et de B', et, par 
suite, toutes les solutions de la question, en décomposant M' en deux fac 
teurs premiers entre eux de toutes les manières possibles. 
404. — Les deux nombres cherchés sont de la forme D.# et D .y ; 
x et y désignant deux nombres premiers entre eux; de plus 
D z .x z — D 2 .?/ 2 £= A ; 
Donc A doit être divisible par D 2 et en posant A = D 2 .B, on doit 
avoir : 
B = x 2 — y 2 = (x + y ) (x — y) ; 
x et y étant premiers entre eux, les deux nombres {x -(- y) et (x — y) ont 
pour p. g. c. d. 1 ou 2 selon qu'ils sont tous deux impairs ou tous deux 
pairs. 
Deux cas à distinguer. 
1° B impair. — Dans ce cas, les deux nombres {x -f y), (x — y) sont 
eux-mêmes impairs, et par suite, premiers entre eux. 
Réciproquement, soient p et y deux nombres premiers entre eux dont 
le produit soit égal à B ; ces deux nombres sont impairs ; donc en suppo 
sant p > q et posant 
x + y = p, x — y = q; d’où ¿r = , y = V~ f l, 
les deux nombres x et y ainsi définis seront entiers et de plus premiers 
entre eux, car le p. g. c. d. de (p + q) et de (p—q) étant égal à 2, 
celui de ^ et de 3 est égal à t. En outre 
D 2 # 2 — D z y z = D 2 (x + y) (x — y) = D z .p.q = D 2 .B = A. 
Donc les nombres Dar, D y répondent à la question. Ainsi, si B est 
impair, il y a autant de solutions qu’il y a de manières de décomposer B 
en un produit de deux facteurs premiers entre eux. 
2° B est pair. — Dans ce cas x -(- y et x — y qui sont de même parité 
et dont le pro luit est égal à B sont tous deux pairs et, par suite, ont pour 
p. g. c. d. 2 ; de plus, l’un des nombres X , X - V est pair, car si 
ces deux nombres étaient impairs, leur somme x et leur différence y 
seraient paires, ce qui est impossible puisque x et y admettent 1 pour 
p. g. c. d. On en conclut que B doit être divisible par 8 
Réciproquement, supposons cette condition remplie, posons B = 4C, 
et soient p et q deux nombres premiers entre eux dont le produit soit égal