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NOMBRES PREMIERS 
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« et ¡3 sont donc impairs et a — ¡3 est un nombre pair. ?! contient par 
suite le facteur prerhier 2 et, d’après l’hypothèse, l’autre facteur premier 
de ce produit n’est pns3; donc la différence « — $ n’est pas divisible 
par 6. 
Il en résulte 
ß = P = mult. 6. 
Car tous les nombres premiers autres que 2 et 3 sont de l’une des for 
mes malt. 6 -+- 1. Si l’on considère deux nombres premiers dont l’un soit 
de la forme mult. 6 -j- I et l’autre de la forme malt. 6— 1, leur diffé 
rence n’est pas multiple de 6, mais leur somme est multiple de 6. 
Si on considère, au contraire, deux nombres premiers tous deux de la 
forme mult. 6 4- 1, ou tous deux de la forme mult. 6 — 1. leur somme 
n’est pas divisible par 6, mais leur différence est égale un multiple de 6. 
En résumé, le produit P contient le facteur 3; il contient aussi le 
facteur 2, à la première ou à la seconde puissance. Deux des trois nom 
bres consécutifs cherchés sont donc 2 et 3 ou 3 et 4. 
Les facteurs du produit P sont par conséquent 
1.2.3 
ou 
2.3.4 ou 3.4.5. 
La première hypothèse est à écarter; examinons les deux autres. 
Cas où P = 2.3.4 = 24. Il s’agit de trouver deux nombres premiers 
dont la somme égale 24 et dont la différence soit égale au double d’un 
nombre premier autre que 1 ou 3. 
L’inspection d’une table des nombres premiers nous fournit les trois 
seules combinaisons 
23 + 1 = 24 = 2.3.4 
23 — I = 22 = 2.11 
19 4- 5 
19 — 5 
Les trois valeurs de « sont fournies par les trois nombres premiers 
consécutifs immédiatement inférieurs à 24. 
Cas où P = 3.4.5 = 60. L’examen de la table des nombres premiers 
montre que les six nombres premiers immédiatement inférieurs h 60 
conviennent pour u. et sont les seuls. 
D’où les six nouvelles solutions 
47 + 13 = 3.4.5 
47 — 13 = 2.17 
59 + 1 = 3.4.5 
59 — 1 = 2.29 
43 + 17 = 3.4.5 
43—17 = 2.13 
53 + 7 = 3.4.5 
53 — 7 = 2.23 
41 + 19 = 3.4.5 
41 — 19 = 2.11 
37 + 23= 3.4.5 
37—23= 2.7 
La question admet donc neuf solutions. 
411. — Je considérerai trois cas, suivant que A est un nombre pre 
mier, ou bien qu’il est une puissance d’un nombre premier, ou enfin 
que A est un nombre composé. 
1° A est un nombre premier ; il est d’abord évident qu’il doit être