FRACTIONS DÉCIMALES 
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et comme les nombres d et d! sont supposés premiers entre eux, cette 
égalité entraîne 
N = m.d r , N' = m.d. 
On a, par suite, N + 3V = m (d -f d'). 
Ajoutant maintenant les égalités (1), il vient ; 
d + d'__ N -f N' _ m (d + d') 
d.d! IQî»—1~ KP 5 —1 
d’où 
1 m 
72' ~ to* — i ; 
fraction périodique ayant p chiffres à la période. 
m est le p. g. c. d. de N et N'. 
588. —Supposons d’abord que N ne soit pas divisible par 3, et soit 
I 
abc ... / la période à laquelle donne lieu la fraction — réduite en déci- 
males 
1 
abc . 
. . / 
N ~ 
999. 
..9 
d’où 
N x abC ' ' 
• 
11! 
ce qui démontre la proposition. 
Supposons maintenant que N soit divisible par 3 ou par 9; par 3, par 
exemple. 
Soit P la période abc ... / composée de p chiffres. 
Nous aurons 
999 ... 9 = P x N 
Puisque N est divisible par 3, P est divisible par 3 ; par suite : 
Q = abc ... I abc ... I abc ... / 
est divisible par 9, et on peut écrire 
10 3p _ t - Q x N ; 
d’où 
111 ... 1 = § X N. 
y 
suite de 1. 
formé d’une 
589. — Le nombre \0 m — I n’est composé que de chiffres 9.