983. 
S, 
FORMULES DE SOMMATION 
_ n (n. + 1) (2w 4- 1) 
, _ 
635 
Pour que S 2 ne soit pas divisible par 5, il faut et il suffit que 5 ne 
divise aucun des trois facteurs n, n 4 1 et 2n 4- 1, ce qui exclut pour n 
l’une des trois formes 
mult. 5, mult. 5 — 1, mult. 5 + 2 
n ne peut alors prendra que l’une des deux formes 
mult. 5 — 2 ou mult. 5 + 1. 
La somme Si des n premiers nombres est égal à 
n (n + 1) 
2 
Remplaçons dans cette expression n par 5.p — 2 ou par 5.7) + 1, on 
trouve que S t est de la forme 
mult. 5 + 1. 
Comme on a S 3 — Sj on voit que la propriété s’applique aussi à la 
somme des cubes. 
984. — Posons n — 2p+ 1, les termes de la progression sont : 
M, M + r, M + 2r, 
M — r, M — 2r, 
M + p.r 
M — p.r. 
La somme des termes S £ est w.M. 
Pour évaluer la somme des carrés, groupons les termes équidistants du 
terme du milieu, ce qui donne 
M 2 = M 2 
(M + r) 2 + (M — r) 2 = 2 (M 2 + r 2 ) 
(M + 2r) 2 + (M — 2r) 2 = 2 (M 2 + 2 2 .r 2 ) 
(M + p.r) 2 + (M — p.r) 2 = 2 (M 2 + p 2 .r 2 ) 
d’où, en ajoutant membre à membre 
S 2 = n.M 2 + 2r 2 (l 2 + 2 2 + 3 2 + ... + p 2 ) 
= n.W + 2r 2 
1 
p {p + 1) (2p + 1 
6 
ou, en remplaçant p par 
ou encore 
S 2 = n.W + 2r 
S, = n.W + r 2 
2 (n — 1) (n + 1) n 
fl 
•+ll 
i 
12 
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