CHAPITRE XVI 
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l’énoncé. Tout nombre compris entre p et p peut s’obtenir en retran 
chant de p un des précédents, il est, par suite de la forme — a + p. 
1 
Considérons les nombres compris entre p et - p 2 : ils s obtiennent en 
ajoutant à p les ^ (p 2 — 1) —p ou (?- ^ -- — 1J p + premiers 
nombres entiers, ils sont dès lors de la forme b.p + a, a et b ne pouvant 
{ 
dépasser — (p— 1). 
\ 
Les nombres compris entre — p 2 et p 2 s’obtiennent en retranchant de 
1 
p 2 les — p 2 premiers nombres ; ils peuvent donc être représentés par la 
formule p 2 zp bp zp a. 
En résumé, jusqu’à p 2 , tous les nombres sont delà forme a 4- b.p 4- cp 2 , 
l 
c étant nul pour tous les nombres jusqu’à — p 2 et égal à 1 pour les autres. 
Supposons maintenant qu’on ait vérifié que tous les nombres jusqu’à p n 
sont de la forme 
N == a 4- bp 4- cp 2 4- ... 4- h.p n , 
{ 
h étant nul pour tous les nombres jusqu’à p n et égal à 1 pour les 
suivants. 
Démontrons que la proposition s’applique encore aux nombres compris 
entre p n et p n+l . 
Ces nombres peuvent se partager en deux catégories : les nombres qui 
sont moindres que p n + l et ceux qui sont plus grands. 
La première catégorie contient 
P 
n 4-1 
—r 
\ p ., + r 
pn 
nombres qu’on peut former en ajoutant à p n les ^ — 1 j p n 4- 
premiers nombres entiers. 
Les nombres obtenus ainsi sont de la forme 
K .p n 4- L 
1 1 
K étant au plus égal à — (p — 1) et L un des ^ (p n — 1) premiers nom 
bres entiers ; donc les nombres de la première catégorie sont de la forme 
a 4- b.p 4- cp 2 4- • • • 4- h.p n (1) 
\ 
a, à, c, ..., b étant, en valeur absolue, moindres que p. 
mi