m 
DES DIFFÉRENTS SYSTÈMES DE NUMÉRATION 
649 
1015. — Soit A un nombre quelconque et N un autre nombre formé 
par m chiffres égaux à 3 ou 9, montrons que A x est un multiple 
de N, plus A. 
10 m = 999 
Donc 
m m 
9 + l = 9xlH ... 1 + 1 = 3 X 333^3 + 1 = 
= multiple de N + 1. 
A x 10 ,il = A (mult. N + 1) = mult. N + A. 
D’après cela, un nombre quelconque P pouvant toujours se décomposer 
en la somme de deux parties dont l’une est formée par les m premiers 
chiffres à droite et l’autre par la partie restante, ce nombre est de la 
forme 
A x 10 m + B, 
et l’on a 
P = A X 10 m + B = mult. N + A + B. 
Pour que P soit divisible par N, il faut et il suffît que la somme (A + B) 
le soit. 
La propriété subsiste dans un système de numération de base a, pour 
les nombres formés de m chiffres n, si n est un diviseur de a — 1. 
1016. — Soient 
\ 
les chiffres qui représentent N dans le système de base B, et supposons 
que v représente les unités du premier ordre, ¡x celles du deuxième 
ordre, etc. ; de telle sorte que l’on ait : 
N = a.B™- 1 + ¡LB m—2 + ... + ix.B + v. 
(*) 
Remarquons maintenant qu’avec les m chiffres de N on peut former m 
permutations circulaires et les ranger dans l’ordre suivant : 
m x 
a, 
P» 
T> 
, \ [X, 
V. 
P. 
r» 
• • • 9 
+ v, 
a. 
T» 
» 
V, a, 
P- 
V, 
a, 
P, •• 
• 5 
¡x. 
Nous avons désigné par N le nombre correspondant à la première ; 
appelons N' le nombre correspondant à la seconde permutation, N" le 
nombre qui correspond à la troisième, etc., nous aurons ainsi : 
N' = ¡3.B m-i + y.B TO ~“ 2 + . . . + ¡x.B 2 + v.B + a, 
N"= y.B m —1 + +B m - 2 + .. . + v.B 2 + a.B + ¡3, 
'iifi 
'■.'C 
I ■