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CHAPITOK XVI 
Cela posé, multiplions par B les deux membres de l’égalité (1), il vient : 
N.B = a.B™ + 4- • • • + ¡¿-B 2 4- v.R. 
En ajoutant et retranchant a au second membre, on trouve : 
N.B = a (B m — 1) + p.B™- 1 -f . . . + g.B 2 4- v.B 4- a 
ou, ce qui est la même chose 
N.B = a (B m — 1) 4- N'. 
(2) 
Mais, par hypothèse, 0 divise N et B m — 1 : donc il divise N'. 
En raisonnant sur N' comme nous l’avons fait sur N, on verrait que 6 
divise aussi N", et ainsi de suite. 
Donc enfin 8 divise tous les nombres obtenus par les permutations 
circulaires des m chiffres 
1, [X. V. 
Le théorème s’applique encore aux nombres de moins de m chiffres, 
pourvu qu’on y remplace les chiffres qui manquent par des zéros placés 
à gauche ou à droite. 
Par exemple, 7 divisant 10 G — 1 et 147 divise également les nombres 
470001, 
700014. 
Problèmes 
1018. — Soit a la base du système 
156 — 140 = 140 — 123 
donc 
6 = a — 3, d’où a = 9. 
La raison de la progression est 16. 
1019. — Soit x cette base 
1 331 = x 3 d’où x = \ \. 
1020. — Soit x la base du système 
16 000 = x & 4- 3a; 3 
64 009 
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