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Vierzehnte- Vorlesung. 
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Wir haben also den folgenden Satz bewiesen: 
Es seien x t , x 2 , . . . x„ unabhängige Functionen der n Variabein 
« t , a 2 , ... und der {n -f- l) ten /, und es werde gesetzt*): 
dx, d x 2 
da, ' da, ' 
— dx, dx? 
da 2 ' d «a ’ 
eine Function von a,, a 2 , ... t. (Die Functionaldeterminante.) Ferner 
seien 
dx, dx 9 
dargestellt als Functionen von x { , x 2 , ... dann ist 
Diese sehr merkwürdige Gleichung, von der wir eine Anwendung zu 
machen haben werden und die zuerst in ihrer Allgemeinheit von 
Liouville** ***) ) abgeleitet ist, spielt in verschiedenen Theilen der Mechanik 
eine wichtige Rolle. Sie ist z. B. die Grundlage der Theorie des 
letzten Multiplikators von Jacobi. In dem Falle n — 3 kommt sie 
in der Hydrodynamik vor. Hier hat man sich x lf x 2 , x. A als die 
rechtwinkligen Coordinaten zur Zeit t eines Flüssigkeitstheilchens zu 
denken, das durch die Werthe der drei Variabein a, } a 2 , a 3 bestimmt 
ist; u l} u 2 , u 3 sind dann die Componenten der Geschwindigkeit zur 
Zeit t am Orte (x n x 2 , a: 3 ). Die räumliche Dilatation, die im Zeit- 
elemeute dt am Orte (¿c 1 , x 2 , x 3 ) hervorgerufen wird, ist daun gleich 
d dt 
oder auch gleich 
man wendet den einen oder den anderen dieser beiden Ausdrücke 
an, je nachdem man die Lagrange’schen oder die Euler’schen hydro 
dynamischen Gleichungen aufstellen will.f) 
§ 2. 
Wir kehren nun zur Betrachtung unserer Gasmoleküle zurück. 
Nach dem zweiten Hauptsatze der Wahrscheinlichkeitsrechnung 
(S. 136) und bei der Bezeichnung, die wir eingeführt haben, ist die 
*) Diesmal ohne Rücksicht auf das Vorzeichen. D. H. 
**) Jacobi, Dynamik, p. 93. 
***) Bei der Differentiation von d nach t ista|,a 2 , a 3 constant zu setzen. D. H. 
t) Vgl. Kirchhoff, Mechanik, Fünfzehnte Vorlesung.