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Fig. 8. 
(Fig. 8) das Minuszeichen. Für dreifaktorige Produkte gelten nun 
wieder ganz analoge Gesetze’wie für zweifaktorige. Namentlich wird 
\ab{aa -f- ßb) \ = 0, 
wie sofort einleuchtet, wenn man bedenkt, dafs die Strecke aa-\- ßb 
der Ebene ab angehört; ferner wird zufolge der obigen Zeichenregel 
[acb \ = — [abc] 
und 
| cab | = + | abc] 
in Übereinstimmung mit den entsprechenden Determinantensätzen. 
Hieran schliefsen wir endlich noch die Definitionsformel 
[a ■ {¿>c)] = fabc] an. 
Zu einer neuen Produktbildung führt der Begriff der Er 
gänzung einer Strecke. Ist nämlich b eine Strecke von der 
Länge b*), und wählen wir als Zeichen der Ergänzung einen vor 
die Strecke zu setzenden senkrechten Strich, so verstehen wir 
unter der Ergänzung b einen Flächenraum |cd\, welcher auf b 
senkrecht steht, dessen Flächenzahl gleich der Längenzahl b der 
Strecke b ist, und dessen Umlaufsrichtung so zu wählen ist, dafs 
das Produkt \bcd\ positiv wird. Insbesondere kann als Ergänzungs- 
fläche ein Eechteck gewählt werden, dessen eine Seite c mit b gleich lang ist, während die andere 
Seite d die Länge 1 besitzt (Fig. 9). 
Fig. 9. 
Um den Zusammenhang des neuen Begriffs mit 
dem früheren enger zu gestalten, entwickeln wir zuerst 
die Beziehung, in welche die Ergänzung zur Addition 
der Strecken tritt, d. h. wir suchen die Ergänzung der 
Summe zweier Strecken a und b zu ermitteln. Dabei 
wird sich die Formel ergeben 
3) ... | [a + b) = \ a + j b, 
welche ausdrückt, dafs das Ergänzungszeichen distributiv 
ist. Zum Beweise derselben stellen wir die Ergänzungen 
von a und b als Rechtecke dar, deren eine Seite beide 
Mal die Länge 1 hat und Normale der Ebene ab ist, 
während die andere Seite bezüglich die Länge von a und 
b besitzt und auf der dazugehörigen Strecke innerhalb 
der Ebene ab senkrecht steht. Dann bilden a, b und 
a 4-b die Seiten eines Dreiecks, und die Gröfsen |a, b 
und | [a -f b) die Seitenflächen eines dreiseitigen Prismas, 
dessen Seitenkanten auf der Ebene ab senkrecht stehen 
*) Als Maßeinheit für die Länge der Strecken ist dabei stets die Kante des Einheitswürfels, als Mafs für 
die Flächenräume dessen Grundfläche zu verwenden. 
(Fig. 10) 
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